2^a Questão (Valor = 2 , 5 pontos) O campo de velocidades de um fluido é dado por F(x, y, z)=2 z k e a superfície S é a esfera x^2+y^2+z^2=4. Ache o fluxo de F através de S usando o teorema da divergência de Gauss. (Considere o comprimento em centímetros e o tempo em horas). (Faça um esboço da superfície S ).

Passo 1

O enunciado dá o campo de velocidades
vec F(x,y,z)=2z,vec k
e a superfície S é a esfera
x^2+y^2+z^2=4
Pede-se o fluxo de vec F através de S usando o teorema da divergência de Gauss.

Passo 2

A superfície S é uma esfera de raio 2 centrada na origem.
Esboço: um globo centrado em (0,0,0) com raio 2.

Passo 3

Calculamos a divergência de vec F:
div vec F = partialpartial x(0) + partialpartial y(0) + partialpartial z(2z) = 2

Passo 4

Pelo teorema da divergência, o fluxo é
integral duplaSvec Fcdot dvec S = integral triplaVdiv vec F,dV = 2;l(Volume da esfera de raio 2r)
O volume de uma esfera de raio 2 é
V = 43pi(2)^3 = 32pi3
Portanto o fluxo vale
2cdot 32pi3 = 64pi3

Resposta

O fluxo de vec F através de S é
64pi3l(cm^3/hr)

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