1^a Questão (Valor =2 , 5 pontos) Use o teorema de Green para calcular a integral de linha ointC F cdot d r, onde F(x, y)=(5 x^2-4 y, 4 x y+raizy^2+2), e C é a circunferência (x-2)^2+y^2=4, no sentido anti-horário. (Faça um esboço da região R ).

Passo 1

O enunciado pede para calcular
ointCvec Fcdot dvec r,
onde
vec F(x,y)=l(P(x,y),,Q(x,y)r)=l(5x^2-4y,;4xy+raizy^2+2r)
e C é a circunferência (x-2)^2+y^2=4 orientada anti-horário.
O conteúdo aplicável é o Teorema de Green, que transforma a integral de linha num integral dupla sobre a região R limitada por C. A região R é o disco centrado em (2,0) de raio 2.

Passo 2

Pelo Teorema de Green vale
ointCvec Fcdot dvec r =integral duplaRl(partial Qpartial x-partial Ppartial yr),dA
Calculando as derivadas parciais:
partial Qpartial x =partialpartial x(4xy+raizy^2+2) =4y,
partial Ppartial y =partialpartial y(5x^2-4y) =-4
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partial Qpartial x-partial Ppartial y =4y-(-4)=4(y+1)

Passo 3

Portanto
ointCvec Fcdot dvec r =integral duplaR4,(y+1),dA =4integral duplaRy,dA+4integral duplaR1,dA
Para facilitar, use coordenadas ,u=x-2,;v=y, de modo que R vira o disco u^2+v^2<=4.

Passo 4

No disco centrado na origem,
integral duplaRv,dA=0
por simetria em v, e
integral duplaR1,dA=área(R)=picdot2^2=4pi á
Assim
ointCvec Fcdot dvec r =4cdot0+4cdot4pi =16pi

Resposta

16pi

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