Calcule
onde
é a curva entre
e
descrita abaixo.
©
é um segmento de reta
©
Passo 1
O enunciado pede pra gente calcular a integral de linha do campo vetorial definido por P=x+y+z, Q=x−2y+3z e R=2x+y−z sobre o segmento de reta γ de (0,0,0) até (2,3,4). Esse tipo de problema é integração de linha de um campo vetorial, e pra resolver vamos parametrizar a curva e usar dx=x′(t)dt, dy=y′(t)dt e dz=z′(t)dt.
Passo 2
A gente parametra o segmento unindo (0,0,0) a (2,3,4) por t∈[0,1]: γ(t)=(2t,3t,4t). Assim dx=2
dt, dy=3
dt e dz=4
dt.
dt, dy=3
dt e dz=4
dt.
Passo 3
Agora substituímos x=2t, y=3t, z=4t nas componentes do campo: usamos
P(t)=x+y+z=2t+3t+4t=9t
Q(t)=x−2y+3z=2t−6t+12t=8t
R(t)=2x+y−z=4t+3t−4t=3t
P(t)=x+y+z=2t+3t+4t=9t
Q(t)=x−2y+3z=2t−6t+12t=8t
R(t)=2x+y−z=4t+3t−4t=3t
Passo 4
Em seguida construímos o integrando P
dx+Q
dy+R
dz em função de t:
P(t)dx=9t·2
dt=18t
dt
Q(t)dy=8t·3
dt=24t
dt
R(t)dz=3t·4
dt=12t
dt
dx+Q
dy+R
dz em função de t:
P(t)dx=9t·2
dt=18t
dt
Q(t)dy=8t·3
dt=24t
dt
R(t)dz=3t·4
dt=12t
dt
Passo 5
Somando tudo dá 18t+24t+12t=54t, ou seja
[
\int_01\bigl(P(t),dx+Q(t),dy+R(t),dz\bigr)=\int_01 54t,dt
],
por fim a integral fica uma integral de um polinômio simples em t e a gente calcula:
[
\int_0^1 54t,dt=54\cdot\frac{1}{2}=27
]
[
\int_01\bigl(P(t),dx+Q(t),dy+R(t),dz\bigr)=\int_01 54t,dt
],
por fim a integral fica uma integral de um polinômio simples em t e a gente calcula:
[
\int_0^1 54t,dt=54\cdot\frac{1}{2}=27
]
Resposta
27