Encontre as soluções de cada um dos PVI’s abaixo.
ly^prime prime+4 y=t, y(0)=3, y^prime(0)=-1,

Passo 1

O enunciado envolve um PVI de segunda ordem com coeficientes constantes e termo não-homogêneo. O conteúdo é EDO linear de 2ª ordem; vamos precisar achar a solução geral da parte homogênea, depois uma solução particular para o termo não-homogêneo e, por fim, impor as condições iniciais.

Passo 2

Escrevendo a parte homogênea:
Temos a equação característica associada
r^2 + 4 = 0
cuja solução é
r = pm 2,i
Logo a solução geral da equação homogênea é
yh(t) = C1cos(2t) + C2sin(2t)

Passo 3

Procurando uma solução particular yp(t) para y'' + 4y = t. Como o lado direito é um polinômio de grau 1, tentamos
yp(t) = A t + B
Então
yp'(t) = A,
yp''(t) = 0
Substituindo na EDO:
0 + 4(At + B) = t
Ou seja,
4A,t + 4B = t
Comparando coeficientes:
4A = 1 implies A = tfrac14,
4B = 0 implies B = 0
Logo
yp(t) = tfrac t4

Passo 4

A solução geral do PVI é
y(t) = yh(t) + yp(t) = C1cos(2t) + C2sin(2t) + tfrac t4
Agora impomos as condições iniciais. Primeiro,
y(0) = C1 + 0 + 0 = 3 implies C1 = 3
Em seguida, calculamos
y'(t) = -2C1sin(2t) + 2C2cos(2t) + tfrac14
Logo,
y'(0) = 0 + 2C2 + tfrac14 = -1 implies 2C2 = -1 - tfrac14 = -tfrac54 implies C2 = -tfrac58

Resposta

y(t) = 3\cos(2t) - \tfrac{5}{8}\sin(2t) + \tfrac{t}{4}

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