Calcule
integralgamma(x+y+z) d x+(x-2 y+3 z) d y+(2 x+y-z) d z
onde gamma é a curva entre (0,0,0) e (2,3,4) descrita abaixo.
(b) gamma consiste de três segmentos de reta, sendo o primero paralelo ao eixo- z, o segundo paralelo ao eixo- x e o terceiro paralelo ao eixo- y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
integralgamma(x+y+z),dx+(x-2y+3z),dy+(2x+y-z),dz,
sendo que o caminho gamma liga (0,0,0) a (2,3,4) em três trechos retilíneos: primeiro paralelo a z, depois a x e por fim a y. O conteúdo é integral de linha de um campo vetorial (ou 1-forma), e vamos precisar parametrizar cada segmento e usar a definição
integralgamma P,dx + Q,dy + R,dz = sumi=1^3 integralti^0^ti^1 l[P,x'(t)+Q,y'(t)+R,z'(t)r],dt

Passo 2

Definimos as componentes do campo: P(x,y,z)=x+y+z, Q(x,y,z)=x-2y+3z e R(x,y,z)=2x+y-z. Em cada segmento só um dos diferenciais é não nulo. Vamos calcular separadamente.

Passo 3

Segmento 1: de (0,0,0) a (0,0,4). Parametrização:
x(t)=0, y(t)=0, z(t)=t, tin[0,4]
Aqui dx=0, dy=0, dz=dt. Logo só contribui R,dz:
R(0,0,t)=2cdot0+0-t=-t,
I1=integral0^4(-t),dt= -t^22|0^4 = -8

Passo 4

Segmento 2: de (0,0,4) a (2,0,4). Parametrização:
x(t)=t, y(t)=0, z(t)=4, tin[0,2]
Aqui dx=dt, dy=0, dz=0. Só contribui P,dx:
P(t,0,4)=t+0+4=t+4,
I2=integral0^2 (t+4),dt = t^22+4t|0^2 =2+8=10

Passo 5

Segmento 3: de (2,0,4) a (2,3,4). Parametrização:
x(t)=2, y(t)=t, z(t)=4, tin[0,3]
Aqui dx=0, dy=dt, dz=0. Só contribui Q,dy:
Q(2,t,4)=2-2t+12=14-2t,
I3=integral0^3(14-2t),dt=14t - t^2|0^3 =42 -9 =33

Passo 6

Somando as três contribuições:
I = I1 + I2 + I3 = (-8) + 10 + 33 = 35

Resposta

35

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