Calcule sem integrar
\int_{-\infty}^{\infty} B_{z}(z) d z=\frac{\mu_{0} i}{2} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{a^{2}}{\left(a^{2}+z^{2}\right)^{3 / 2}} d z
onde \vec{B} é o campo magnético ao longo do eixo de simetria de uma espira circular de raio a com corrente i e momento de dipolo magnético \vec{\mu} apontándo no sentido z positivo.

Passo 1

O enunciado pede o valor, sem fazer a integral explicitamente, de
\int_{-\infty}^{\infty}B_{z}(z)\,dz =\frac{\mu_{0}\,i}{2}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{a^{2}}{\bigl(a^{2}+z^{2}\bigr)^{3/2}}\,dz
onde B_{z}(z) é o componente do campo magnético ao longo do eixo de uma espira de raio a e corrente i. O método que vamos usar é a lei integral de Ampère, para evitar a integração direta.

Passo 2

Escolhemos um contorno fechado retangular no plano que contém o eixo z:
– Segmento 1: ao longo do eixo, de z=-L a z=+L.
– Segmentos 2 e 4: radiais, muito afastados da espira (distância R\to\infty), onde \vec B\approx0.
– Segmento 3: de z=+L a z=-L paralelo ao eixo, também em r=R\to\infty, com \vec B\approx0.
Pela lei de Ampère,
\oint\vec B\cdot d\vec l \;=\;\mu_{0}\,I_{\rm enc}
o único fluxo de corrente atravessado pelo laço é i.

Passo 3

Nos segmentos afastados temos \vec B\approx0, então só o Segmento 1 contribui de fato. Nele \vec B\parallel d\vec l e
\oint\vec B\cdot d\vec l =\int_{-L}^{+L}B_{z}(z)\,dz \;=\;\mu_{0}\,i.
Fazendo L\to\infty obtemos exatamente
\int_{-\infty}^{\infty}B_{z}(z)\,dz=\mu_{0}\,i.

Resposta

\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}B_{z}(z)\,dz=\mu_{0}\,i

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