-30 São dados dois vetores:
\vec{a}=(4,0 \mathrm{~m}) \hat{\mathrm{i}}-(3,0 \mathrm{~m}) \hat{\mathrm{j}} \text { e } \vec{b}=(6,0 \mathrm{~m}) \hat{\mathrm{i}}+(8,0 \mathrm{~m}) \hat{\mathrm{j}} .
Determine o ângulo entre as direções de \vec{b}-\vec{a} e \vec{a}-\vec{b}.

Passo 1

O enunciado nos dá os vetores \vec{a} = (4{,}0\:\mathrm{m})\,\hat{\imath} - (3{,}0\:\mathrm{m})\,\hat{\jmath} e \vec{b} = (6{,}0\:\mathrm{m})\,\hat{\imath} + (8{,}0\:\mathrm{m})\,\hat{\jmath},
e pede o ângulo entre as direções de \vec{b}-\vec{a} e \vec{a}-\vec{b}.
Conteúdo: diferença de vetores, produto escalar e ângulo entre vetores.

Passo 2

Calculamos as diferenças:
\vec{b}-\vec{a} = (6 - 4,\;8 - (-3)) = (2,\;11),
\vec{a}-\vec{b} = (4 - 6,\;-3 - 8) = (-2,\;-11).

Passo 3

Usamos o produto escalar e as normas para obter o cosseno do ângulo.
O produto escalar é
(\vec{b}-\vec{a})\cdot(\vec{a}-\vec{b}) = 2\cdot(-2) + 11\cdot(-11) = -4 - 121 = -125.
As normas são iguais, pois \vec{a}-\vec{b}= -(\vec{b}-\vec{a}), e
\|\vec{b}-\vec{a}\| = \sqrt{2^2 + 11^2} = \sqrt{4 + 121} = \sqrt{125}.

Passo 4

Logo
\cos\theta = \frac{(\vec{b}-\vec{a})\cdot(\vec{a}-\vec{b})} {\|\vec{b}-\vec{a}\|\;\|\vec{a}-\vec{b}\|} = \frac{-125}{\sqrt{125}\,\sqrt{125}} = -1,
portanto
\theta = \operatorname{arccos}(-1) = \pi\:\mathrm{rad} = 180^\circ.

Resposta

O ângulo entre \vec{b}-\vec{a} e \vec{a}-\vec{b} é 180^\circ.

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