Calcule a integras integrais definidas a seguir:
\int_{0}^{1} \frac{x^{2}+3 x+3}{x^{3}+x^{2}+x+1} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{1} \frac{x^{2} + 3x + 3}{x^{3} + x^{2} + x + 1}\,dx.
O conteúdo principal é decomposição em frações parciais e depois integração de termos do tipo \frac1{x+1}, \frac{x}{x^2+1} e \frac1{x^2+1}.

Passo 2

Note que o denominador fatora como
x^{3}+x^{2}+x+1 = (x+1)(x^{2}+1).

Passo 3

Fazemos a decomposição
\frac{x^{2}+3x+3}{(x+1)(x^{2}+1)} = \frac{A}{x+1} + \frac{B\,x + C}{x^{2}+1}.
Igualando numeradores:
x^{2}+3x+3 = A(x^{2}+1) + (B\,x + C)(x+1) = (A+B)x^{2} + (B+C)x + (A+C).
Dessa forma temos o sistema
\begin{cases} A + B = 1,\\\ B + C = 3,\\\ A + C = 3. \end{cases}
Resolvendo, obtemos A=\tfrac12, B=\tfrac12, C=\tfrac52.

Passo 4

Substituindo na integral,
\frac{x^{2}+3x+3}{(x+1)(x^{2}+1)} = \frac{\tfrac12}{x+1} + \frac{\tfrac12\,x}{x^{2}+1} + \frac{\tfrac52}{x^{2}+1}.
Logo
\int_{0}^{1}\frac{x^{2}+3x+3}{x^{3}+x^{2}+x+1}\,dx = \tfrac12\!\int_{0}^{1}\frac{dx}{x+1} + \tfrac12\!\int_{0}^{1}\frac{x\,dx}{x^{2}+1} + \tfrac52\!\int_{0}^{1}\frac{dx}{x^{2}+1}.

Passo 5

Calculamos cada parte:
\tfrac12\!\int_{0}^{1}\frac{dx}{x+1} = \tfrac12\bigl[\ln(x+1)\bigr]_{0}^{1} = \tfrac12\ln 2,
\tfrac12\!\int_{0}^{1}\frac{x\,dx}{x^{2}+1} = \tfrac12\cdot \tfrac12\bigl[\ln(x^{2}+1)\bigr]_{0}^{1} = \tfrac14\ln 2,
\tfrac52\!\int_{0}^{1}\frac{dx}{x^{2}+1} = \tfrac52\bigl[\arctan x\bigr]_{0}^{1} = \tfrac52\cdot \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{8}.

Passo 6

Somando os resultados:
\frac12\ln2 + \frac14\ln2 + \frac{5\pi}{8} = \frac34\ln2 + \frac{5\pi}{8}.

Resposta

\frac{3}{4}\ln 2 \;+\;\frac{5\pi}{8}.

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