Calcule a integras integrais definidas a seguir:
\int_{1}^{2} \frac{x^{3}-1}{x^{2}+x+1} d x

Passo 1

De forma simples, vamos calcular
\int_{1}^{2}\frac{x^{3}-1}{x^{2}+x+1}\,dx.
O conteúdo aqui é integração de uma função racional e a sacada é usar diferença de cubos para simplificar antes de integrar.

Passo 2

A diferença de cubos diz que
x^{3}-1 = (x-1)(x^{2}+x+1).
Logo podemos cancelar x^{2}+x+1 no denominador (não dá problema de divisão por zero em [1,2]), resultando em
\frac{x^{3}-1}{x^{2}+x+1} = x - 1.

Passo 3

A integral passa a ser
\int_{1}^{2}(x - 1)\,dx.
Sabemos que
\int (x - 1)\,dx = \frac{x^{2}}{2} - x + C.

Passo 4

Agora basta avaliar de 1 a 2:
\left[\frac{x^{2}}{2} - x\right]_{1}^{2} = \Bigl(\frac{2^{2}}{2} - 2\Bigr) - \Bigl(\frac{1^{2}}{2} - 1\Bigr) = (2 - 2) - \bigl(\tfrac12 - 1\bigr) = 0 - (-\tfrac12) = \tfrac12.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{2}

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