Calcule a integras integrais definidas a seguir:
\int_{0}^{1} \frac{x}{x^{3}+2 x^{2}+x+2} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{1} \frac{x}{x^{3} + 2x^{2} + x + 2}\,dx.
O conteúdo é integração de função racional e vamos precisar fatorar o denominador e usar decomposição em frações parciais.

Passo 2

Primeiro fatoramos o denominador. Repare que
x^{3} + 2x^{2} + x + 2 = (x^{3} + 2x^{2}) + (x + 2) = x^{2}(x+2) + 1\cdot(x+2) = (x+2)(x^{2}+1).
Logo a integral torna-se
\int_{0}^{1} \frac{x}{(x^{2}+1)(x+2)}\,dx.

Passo 3

Fazemos a decomposição em frações parciais:
\frac{x}{(x^{2}+1)(x+2)} = \frac{Ax+B}{x^{2}+1} + \frac{C}{x+2}.
Multiplicando ambos os lados por (x^{2}+1)(x+2)
x = (Ax+B)(x+2) + C(x^{2}+1).

Passo 4

Expandindo e igualando coeficientes em x^{2},x,\,\text{constante}:
(A+C)x^{2} + (2A+B)x + (2B+C) = 0\cdot x^{2} + 1\cdot x + 0.
Isso gera o sistema
\begin{cases} A + C = 0,\\\\ 2A + B = 1,\\\\ 2B + C = 0. \end{cases}
Resolvendo, obtemos
A = \tfrac{2}{5},\quad B = \tfrac{1}{5},\quad C = -\tfrac{2}{5}.

Passo 5

Substituindo na integral:
\frac{x}{(x^{2}+1)(x+2)} = \frac{2/5\,x + 1/5}{x^{2}+1} - \frac{2/5}{x+2}.
Então
\int_{0}^{1}\frac{x}{(x^{2}+1)(x+2)}\,dx = \frac{1}{5}\int_{0}^{1}\frac{2x+1}{x^{2}+1}\,dx - \frac{2}{5}\int_{0}^{1}\frac{1}{x+2}\,dx.
Compute cada parte:
\int\frac{2x+1}{x^{2}+1}\,dx = \int\frac{2x}{x^{2}+1}\,dx + \int\frac{1}{x^{2}+1}\,dx = \ln(x^{2}+1) + \arctan x,
logo de 0 a 1 \ln2 + \tfrac{\pi}{4}.
E
\int_{0}^{1}\frac{1}{x+2}\,dx = \bigl[\ln(x+2)\bigr]_{0}^{1} = \ln3 - \ln2.

Passo 6

Juntando tudo:
\int_{0}^{1}\frac{x}{x^{3}+2x^{2}+x+2}\,dx = \frac{1}{5}\bigl(\ln2 + \tfrac{\pi}{4}\bigr) - \frac{2}{5}\bigl(\ln3 - \ln2\bigr).
Agrupando termos em \ln:
= \frac{3}{5}\ln2 - \frac{2}{5}\ln3 + \frac{\pi}{20} = \frac{1}{5}\ln\!\bigl(\tfrac{8}{9}\bigr) + \frac{\pi}{20}.

Resposta

\boxed{\frac{1}{5}\,\ln\!\bigl(\tfrac{8}{9}\bigr) + \frac{\pi}{20}}.

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