Em um jogo, Pedro lança uma moeda para decidir quantas casas avançar. Quando sai cara, ele avança uma casa; quando sai coroa, ele avança duas casas. O jogo acaba quando Pedro alcança ou ultrapassa a última casa. Faltam três casas para Pedro terminar o jogo. Qual é a probabilidade de que ele tire coroa em sua última jogada?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma única coisa.
- Informação: quando sai cara, Pedro avança uma casa (ou seja, cara = avanço de
). - Informação: quando sai coroa, Pedro avança duas casas (ou seja, coroa = avanço de
). - Informação: faltam
casas para Pedro terminar o jogo (ou seja, a distância inicial até o fim é ). - Informação implícita que vou assumir (padrão em problemas com “moeda”): a moeda é justa, então
. - Pergunta: qual é a probabilidade de que a última jogada (a jogada que faz Pedro alcançar ou ultrapassar a última casa) seja coroa?
Passo 2
Vamos formalizar uma variável que vamos usar em toda a resolução: seja
a probabilidade de que a última jogada seja coroa quando faltam exatamente
casas para terminar. Ou seja,
.
Aplicando a ideia intuitiva de “condicionar pelo primeiro lançamento” (princípio da probabilidade total), se
então nenhum dos dois resultados termina o jogo imediatamente (porque
ou
casas não chegam a
), então após o primeiro lançamento a distância passa a ser
(se saiu cara) ou
(se saiu coroa). Como a moeda é justa, cada caso tem probabilidade
. Portanto, para
vale a recorrência
Aqui eu usei a fórmula da probabilidade condicional: a probabilidade total é a soma das probabilidades de cada ramo (cara ou coroa) multiplicadas pela probabilidade condicional daqui para frente.
Passo 3
Precisamos dos casos-base para iniciar a recorrência.
- Caso
. Se falta casa, o próximo lançamento termina o jogo qualquer que seja o resultado (cara avança , coroa avança e também ultrapassa). Portanto a última jogada é coroa exatamente quando sai coroa no próximo lançamento, ou seja
Expliquei isso porque aqui não há etapas futuras: o jogo termina imediatamente no próximo lance.
- Caso
. Se falta casas, o próximo lançamento pode terminar o jogo (se sair coroa) ou não (se sair cara). Assim: - Se sair coroa (probabilidade
), o jogo termina imediatamente e a última jogada foi coroa (contribuição ). - Se sair cara (probabilidade
), a distância passa a ser e a probabilidade de que a última jogada seja coroa a partir daí é .
Portanto
- Se sair coroa (probabilidade
Passo 4
Agora use a recorrência para
. Como
, vale
Substituindo os valores já obtidos
e
, temos
Passo 5
Para você checar e fixar a ideia, vou enumerar todas as sequências possíveis (o jogo termina em 2 ou 3 lançamentos) e somar as probabilidades dos casos em que a última jogada é coroa:
- Sequências de 2 lançamentos que terminam:
-
: avanços , termina no 2º lançamento e última é coroa. Probabilidade . -
: avanços , termina no 2º lançamento e última é coroa. Probabilidade . -
: avanços , termina no 2º lançamento mas última é cara (não conta). -
: avanços , não termina ainda.
-
- Se não terminou em 2 lançamentos, então ocorreu
e falta casa; o terceiro lançamento termina com probabilidade , e é coroa com probabilidade . A probabilidade da sequência é e aí a última é coroa.
Somando as probabilidades dos casos favoráveis:
, confirmando o resultado anterior.