Em um jogo, Pedro lança uma moeda para decidir quantas casas avançar. Quando sai cara, ele avança uma casa; quando sai coroa, ele avança duas casas. O jogo acaba quando Pedro alcança ou ultrapassa a última casa. Faltam três casas para Pedro terminar o jogo. Qual é a probabilidade de que ele tire coroa em sua última jogada?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma única coisa.
  • Informação: quando sai cara, Pedro avança uma casa (ou seja, cara = avanço de 1).
  • Informação: quando sai coroa, Pedro avança duas casas (ou seja, coroa = avanço de 2).
  • Informação: faltam 3 casas para Pedro terminar o jogo (ou seja, a distância inicial até o fim é 3).
  • Informação implícita que vou assumir (padrão em problemas com “moeda”): a moeda é justa, então \mathbb{P}(\text{cara})=\mathbb{P}(\text{coroa})=\tfrac{1}{2}.
  • Pergunta: qual é a probabilidade de que a última jogada (a jogada que faz Pedro alcançar ou ultrapassar a última casa) seja coroa?

Passo 2

Vamos formalizar uma variável que vamos usar em toda a resolução: seja p_n a probabilidade de que a última jogada seja coroa quando faltam exatamente n casas para terminar. Ou seja, p_n=\mathbb{P}(\text{última jogada é coroa}\mid\text{distância inicial}=n)úéâ.
Aplicando a ideia intuitiva de “condicionar pelo primeiro lançamento” (princípio da probabilidade total), se n\ge 3 então nenhum dos dois resultados termina o jogo imediatamente (porque 1 ou 2 casas não chegam a 3), então após o primeiro lançamento a distância passa a ser n-1 (se saiu cara) ou n-2 (se saiu coroa). Como a moeda é justa, cada caso tem probabilidade \tfrac{1}{2}. Portanto, para n\ge 3 vale a recorrência
p_n=\tfrac{1}{2}\,p_{n-1}+\tfrac{1}{2}\,p_{n-2}.
Aqui eu usei a fórmula da probabilidade condicional: a probabilidade total é a soma das probabilidades de cada ramo (cara ou coroa) multiplicadas pela probabilidade condicional daqui para frente.

Passo 3

Precisamos dos casos-base para iniciar a recorrência.
  • Caso n=1. Se falta 1 casa, o próximo lançamento termina o jogo qualquer que seja o resultado (cara avança 1, coroa avança 2 e também ultrapassa). Portanto a última jogada é coroa exatamente quando sai coroa no próximo lançamento, ou seja
p_1=\mathbb{P}(\text{coroa})=\tfrac{1}{2}.
Expliquei isso porque aqui não há etapas futuras: o jogo termina imediatamente no próximo lance.
  • Caso n=2. Se falta 2 casas, o próximo lançamento pode terminar o jogo (se sair coroa) ou não (se sair cara). Assim:
    • Se sair coroa (probabilidade \tfrac{1}{2}), o jogo termina imediatamente e a última jogada foi coroa (contribuição \tfrac{1}{2}\cdot 1).
    • Se sair cara (probabilidade \tfrac{1}{2}), a distância passa a ser 1 e a probabilidade de que a última jogada seja coroa a partir daí é p_1.
      Portanto
p_2=\tfrac{1}{2}\cdot 1+\tfrac{1}{2}\,p_1=\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{1}{2}=\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{4}=\tfrac{3}{4}.

Passo 4

Agora use a recorrência para n=3. Como 3\ge 3, vale
p_3=\tfrac{1}{2}\,p_2+\tfrac{1}{2}\,p_1.
Substituindo os valores já obtidos p_2=\tfrac{3}{4} e p_1=\tfrac{1}{2}, temos
p_3=\tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{3}{4}+\tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{1}{2}=\tfrac{3}{8}+\tfrac{1}{4}=\tfrac{3}{8}+\tfrac{2}{8}=\tfrac{5}{8}.

Passo 5

Para você checar e fixar a ideia, vou enumerar todas as sequências possíveis (o jogo termina em 2 ou 3 lançamentos) e somar as probabilidades dos casos em que a última jogada é coroa:
  • Sequências de 2 lançamentos que terminam:
    • (\text{coroa},\text{coroa}): avanços 2+2=4, termina no 2º lançamento e última é coroa. Probabilidade \tfrac{1}{4}.
    • (\text{cara},\text{coroa}): avanços 1+2=3, termina no 2º lançamento e última é coroa. Probabilidade \tfrac{1}{4}.
    • (\text{coroa},\text{cara}): avanços 2+1=3, termina no 2º lançamento mas última é cara (não conta).
    • (\text{cara},\text{cara}): avanços 1+1=2, não termina ainda.
  • Se não terminou em 2 lançamentos, então ocorreu (\text{cara},\text{cara}) e falta 1 casa; o terceiro lançamento termina com probabilidade 1, e é coroa com probabilidade \tfrac{1}{2}. A probabilidade da sequência (\text{cara},\text{cara},\text{coroa}) é \tfrac{1}{8} e aí a última é coroa.
Somando as probabilidades dos casos favoráveis: \tfrac{1}{4}+\tfrac{1}{4}+\tfrac{1}{8}=\tfrac{5}{8}, confirmando o resultado anterior.

Resposta

\tfrac{5}{8}

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