Calcule.
\int\left(4+4 \operatorname{tg}^{2} v\right) d v

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int\bigl(4+4\tan^{2}v\bigr)\,dv.
O conteúdo envolve integração de funções trigonométricas e usaremos identidades para simplificar antes de integrar.

Passo 2

Aplicamos a identidade trigonométrica
1 + \tan^{2}v = \operatorname{sec}^{2}v
para reescrever o integrando:
4 + 4\tan^{2}v = 4\bigl(1 + \tan^{2}v\bigr) = 4\,\operatorname{sec}^{2}v.

Passo 3

Como sabemos que
\frac{d}{dv}\bigl(\tan v\bigr)=\operatorname{sec}^{2}v,
temos
\int 4\,\operatorname{sec}^{2}v\,dv = 4\int \operatorname{sec}^{2}v\,dv = 4\,\tan v + C,
onde C é a constante de integração.

Resposta

4\tan v + C

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