Calcule.
\int\left(3 x^{2}-2\right)^{3} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int (3x^{2}-2)^{3}\,dx.
O conteúdo aqui é integração de polinômio: podemos usar a expansão binomial para reescrever o integrando como soma de potências de x e depois integrar termo a termo.

Passo 2

Aplicamos a fórmula de expansão (a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3} com a=3x^{2} e b=-2, obtendo
(3x^{2}-2)^{3} = (3x^{2})^{3} +3\,(3x^{2})^{2}(-2) +3\,(3x^{2})(-2)^{2} +(-2)^{3} =27x^{6}-54x^{4}+36x^{2}-8.

Passo 3

Integramos cada monômio separadamente:
\int27x^{6}\,dx=\frac{27}{7}x^{7},\quad \int(-54x^{4})\,dx=-\frac{54}{5}x^{5},\quad \int36x^{2}\,dx=12x^{3},\quad \int(-8)\,dx=-8x.
Somando os resultados, um antiderivado é
\frac{27}{7}x^{7}-\frac{54}{5}x^{5}+12x^{3}-8x.

Resposta

\frac{27}{7}x^{7}-\frac{54}{5}x^{5}+12x^{3}-8x+C

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