Calcule.
\int \frac{1}{x \ln x} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{1}{x\,\ln x}\,dx.
Este é um caso clássico de substituição (u-substitution), pois vemos x e \ln x de forma que \frac{d(\ln x)}{dx}=\tfrac1x.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = \ln x,
então
du = \frac{1}{x}\,dx
ou seja
\frac{1}{x}\,dx = du.

Passo 3

Substituindo na integral original, temos
\int \frac{1}{x\,\ln x}\,dx = \int \frac{1}{u}\,du.

Passo 4

Agora integramos \tfrac1u:
\int \frac{1}{u}\,du = \ln\bigl|u\bigr| + C.
Voltando para x (isto é, u=\ln x), obtemos
\ln\bigl|\ln x\bigr| + C.

Resposta

\int \frac{1}{x\,\ln x}\,dx = \ln\bigl|\ln x\bigr| + C.

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