1. Prove para n \geq 1 que
\begin{gathered} \binom{n}{r}<\binom{n}{r+1} \text { se e somente se } 0 \leq r<(n-1) / 2 \\\ \binom{n}{r}>\binom{n}{r+1} \text { se e somente se } n-1 \geq r>(n-1) / 2 \end{gathered}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que os coeficientes binomiais \binom{n}{r} crescem até o meio e depois decrescem. Vamos usar a fórmula de razão entre termos consecutivos de \binom{n}{r}.

Passo 2

Calculamos
\frac{\binom{n}{r+1}}{\binom{n}{r}} =\frac{\displaystyle\frac{n!}{(r+1)!\,(n-r-1)!}}{\displaystyle\frac{n!}{r!\,(n-r)!}} =\frac{n-r}{r+1}.
Assim, \binom{n}{r}<\binom{n}{r+1} se, e somente se,
\frac{n-r}{r+1}>1 \quad\Longleftrightarrow\quad n-r>r+1 \quad\Longleftrightarrow\quad 2r<n-1 \quad\Longleftrightarrow\quad r<\frac{n-1}{2}.

Passo 3

De modo análogo, \binom{n}{r}>\binom{n}{r+1} se, e somente se,
\frac{n-r}{r+1}<1 \quad\Longleftrightarrow\quad n-r<r+1 \quad\Longleftrightarrow\quad 2r>n-1 \quad\Longleftrightarrow\quad r>\frac{n-1}{2}.

Resposta

Concluímos que, para 0\le r\le n-1: \displaystyle \binom{n}{r}<\binom{n}{r+1}\iff r<\tfrac{n-1}{2}
e \displaystyle \binom{n}{r}>\binom{n}{r+1}\iff r>\tfrac{n-1}{2}.

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