Calcule e justifique.(sem LHospital)
Passo 1
Então, temos esse exercício que pede para calcular o limite quando $ x $ se aproxima de 0 da expressão $ \frac{1 - \cos x}{x^2} $. Aqui, estamos lidando com conceitos de cálculo, especificamente limites e funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar entender como a função cosseno se comporta perto de 0 e usar algumas propriedades de limites básicos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o cosseno pode ser aproximado por uma série de potências quando $ x $ está perto de 0. A expansão em série de Taylor do cosseno em torno de 0 é:
Para valores muito pequenos de $ x $, os termos de ordem mais alta (como $ x^4 $) tornam-se quase insignificantes, então podemos aproximar:
Passo 3
Agora, vamos substituir essa aproximação na expressão original do limite:
Simplificando dentro do numerador:
Então, a expressão fica:
Passo 4
Como os termos de ordem superior desaparecem quando $ x $ se aproxima de 0, o limite da expressão $ \frac{1 - \cos x}{x^2} $ quando $ x $ tende a 0 é simplesmente $ \frac{1}{2} $.
Resposta
O limite é igual a $ \frac{1}{2} $.