Calcule as integrais utilizando substituição trigonométrica:
integral 2x^4 cdot raizx^2-16 d x
R: raizx^2-16(x^2+8)192 x^3+C

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral integral 2x^4raizx^2-16,dx usando substituição trigonométrica. O conteúdo da matéria envolve integrar expressões com raizx^2-a^2, e vamos precisar usar a substituição padrão x = asectheta com a=4.

Passo 2

Escolhendo a substituição x = 4sectheta, vemos que
raizx^2-16 = raiz16sec^2theta - 16 = 4tantheta,
além disso
dx = 4secthetatantheta,dtheta
e
x^4 = (4sectheta)^4 = 256sec^4theta

Passo 3

Substituindo na integral, temos
integral 2x^4raizx^2-16,dx = integral 2256sec^4theta cdot 4tantheta cdot (4secthetatantheta,dtheta)
Simplificando os fatores,
2 cdot 4secthetatantheta256 cdot 4sec^4theta cdot tantheta = 81024sec^3theta = 1128cos^3theta,
então a integral vira
integral 1128cos^3theta,dtheta

Passo 4

Para integrar cos^3theta escrevemos cos^3theta = costheta(1-sin^2theta). Fazendo u = sintheta, du = costheta,dtheta, obtemos
integral cos^3theta,dtheta = integral (1 - u^2),du = u - u^33 + C = sintheta - sin^3theta3 + C
Então
integral 1128cos^3theta,dtheta = 1128l(sintheta - sin^3theta3r) + C

Passo 5

Voltando para x, como sectheta = x4 temos costheta = 4x e
sintheta = raiz1-cos^2theta = raizx^2-16x
Logo
sin^3theta = (raizx^2-16)^3x^3 = (x^2-16)^3/2x^3
Substituindo em 1128(sintheta - tfracsin^3theta3) e simplificando, chega-se a
raizx^2-16,(x^2+8)192,x^3 + C

Resposta

raizx^2-16,(x^2+8)192,x^3 + C

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