Calcule as integrais utilizando substituição trigonométrica:
integral raiz25 x^2-1x d x
R: raiz25 x^2-1-arctg(raiz25 x^2-1)+C

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral integral raiz25x^2-1x,dx usando substituição trigonométrica. O conteúdo principal aqui é reconhecer expressões do tipo raiza^2x^2-1 e usar uma substituição que transforme em funções trigonométricas.

Passo 2

Para lidar com raiz25x^2-1, escolhemos a substituição x=tfrac15sectheta. Assim:
25x^2=25l(tfrac15secthetar)^2=sec^2theta,,
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$$\sqrt{25x2-1}=\sqrt{\sec2\theta-1}=\tan\theta,.
raiz25x^2-1=raizsec^2theta-1=tantheta, édx=\tfrac{1}{5}\sec\theta\tan\theta,d\theta$$
e
$$x=\tfrac{1}{5}\sec\theta,.
$$

Passo 3

Substituindo na integral original, temos:
$$\int \frac{\sqrt{25x^2-1}}{x},dx=\int \frac{\tan\theta}{(1/5)\sec\theta};\Bigl(\tfrac{1}{5}\sec\theta\tan\theta,d\theta\Bigr).
integral raiz25x^2-1x,dx=integral tantheta(1/5)sectheta;l(tfrac15secthetatantheta,dthetar) \frac{\tan\theta}{(1/5)\sec\theta}=5\frac{\tan\theta}{\sec\theta}=5\sin\theta,
tantheta(1/5)sectheta=5tanthetasectheta=5sintheta, 5\sin\theta\cdot\tfrac{1}{5}\sec\theta\tan\theta=\sin\theta\sec\theta\tan\theta=\frac{\sin2\theta}{\cos2\theta}=\tan^2\theta.
dx\int \tan^2\theta,d\theta.$$

Passo 4

Usando a identidade tan^2theta=sec^2theta-1, a integral fica
$$\int (\sec2\theta-1),d\theta=\int\sec2\theta,d\theta-\int1,d\theta=\tan\theta-\theta+C.
$$

Passo 5

Para voltar à variável x, lembramos que
$$\tan\theta=\sqrt{25x^2-1}
tantheta=raiz25x^2-1 \theta=\arctan\bigl(\tan\theta\bigr)=\arctan\bigl(\sqrt{25x^2-1}\bigr).
theta=arctanl(tanthetar)=arctanl(raiz25x^2-1r) \tan\theta-\theta=\sqrt{25x2-1}-\arctan\bigl(\sqrt{25x2-1}\bigr)+C.
$$

Resposta

raiz25x^2-1-arctanl(raiz25x^2-1r)+C

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