Calcule as integrais utilizando substituição trigonométrica:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
usando substituição trigonométrica. O conteúdo principal aqui é reconhecer expressões do tipo
e usar uma substituição que transforme em funções trigonométricas.
Passo 2
Para lidar com
, escolhemos a substituição
. Assim:
logo
$$\sqrt{25x2-1}=\sqrt{\sec2\theta-1}=\tan\theta,.
e
$$x=\tfrac{1}{5}\sec\theta,.
$$
Passo 3
Substituindo na integral original, temos:
$$\int \frac{\sqrt{25x^2-1}}{x},dx=\int \frac{\tan\theta}{(1/5)\sec\theta};\Bigl(\tfrac{1}{5}\sec\theta\tan\theta,d\theta\Bigr).
Passo 4
Usando a identidade
, a integral fica
$$\int (\sec2\theta-1),d\theta=\int\sec2\theta,d\theta-\int1,d\theta=\tan\theta-\theta+C.
$$
Passo 5
Para voltar à variável
, lembramos que
$$\tan\theta=\sqrt{25x^2-1}
$$