(2,0)Calcule e justifique.(sem L’Hospital)
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos x}{x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede
\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^2},
que é um limite fundamental de funções trigonométricas. Vamos usar identidade trigonométrica e o limite clássico \lim_{u\to0}\frac{\sin u}{u}=1.

Passo 2

Aplicamos a identidade
1-\cos x = 2\sin^2\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr).

Passo 3

Substituindo na expressão original,
\frac{1-\cos x}{x^2} = \frac{2\sin^2\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)}{x^2}.

Passo 4

Escrevemos \sin^2\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr) de modo a tirar um quociente \frac{\sin u}{u}. Com u=\tfrac{x}{2}, temos
\frac{2\sin^2(u)}{x^2} =2\;\frac{\sin^2(u)}{u^2}\;\frac{u^2}{x^2} =2\;\Bigl(\frac{\sin u}{u}\Bigr)^{\!2}\;\frac{\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)^{2}}{x^{2}} =2\;\Bigl(\frac{\sin u}{u}\Bigr)^{\!2}\;\frac{1}{4} =\frac{1}{2}\,\Bigl(\frac{\sin u}{u}\Bigr)^{\!2}.

Passo 5

Quando x\to0, vem u=\tfrac{x}{2}\to0 e sabemos que \lim_{u\to0}\frac{\sin u}{u}=1. Logo
\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^2} =\frac{1}{2}\,\lim_{u\to0}\Bigl(\frac{\sin u}{u}\Bigr)^{\!2} =\frac{1}{2}\cdot1^{2} =\frac{1}{2}.

Resposta

\displaystyle \tfrac12

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