Dado os vetores u=(k+2,2 k) e v=(-3, k+1), determinar os valores de k para que \operatorname{Proj}_{v}(u) e v tenham direções opostas.
\begin{array}{ll} \|\mu\|=3 & \|\mu+v\|^{2}=|\mu+v| \cdot|\mu+v| \\\ \|v\|=2 & \|\mu+v\|^{2}=\|\mu\|^{2}+2 \mu \cdot v+\|v\|^{2} \\\ \mu \cdot v=-5 & \|\mu+v\|^{2}=3^{2}+2 \cdot(-5)+2^{2} \\\ & \|\mu+v\|^{2}=9-10+4=3 \\\ & \|\mu+v\|=\sqrt{3} \end{array}

Passo 1

O enunciado pede para achar os valores de k tais que a projeção de u=(k+2,2k) sobre v=(-3,k+1), dada por
\operatorname{Proj}_{v}(u)=\frac{u\cdot v}{v\cdot v}\,v,
tenha direção oposta à de v. Para isso precisamos entender que duas direções são opostas quando o coeficiente escalar \frac{u\cdot v}{v\cdot v} é negativo.

Passo 2

Calculamos primeiro o produto escalar no numerador e o quadrado da norma de v no denominador:
u\cdot v=(k+2)(-3)+(2k)(k+1)=-3k-6+2k^2+2k=2k^2 - k - 6,
v\cdot v=(-3)^2+(k+1)^2=9+(k+1)^2>0\quad\forall k.

Passo 3

Como v\cdot v>0 para todo k, o sinal de \frac{u\cdot v}{v\cdot v} é o mesmo de u\cdot v. Logo, para a projeção ter direção oposta à de v precisamos de
u\cdot v<0 \quad\Longleftrightarrow\quad 2k^2 - k - 6<0.

Passo 4

Resolvendo a inequação quadrática 2k^2 - k - 6<0, encontramos as raízes da equação associada
2k^2 - k - 6=0 \quad\Longrightarrow\quad k=\frac{1\pm\sqrt{1+48}}{4} =\frac{1\pm7}{4},
ou seja, k=2 e k=-\tfrac32. Como o coeficiente de k^2 é positivo, a parábola abre para cima e a expressão é negativa entre as raízes. Portanto
-{\tfrac32}<k<2.

Resposta

Os valores de k que garantem direções opostas são
-\tfrac{3}{2}<k<2.

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