Calcule a derivada da função dada:
(1,0 ponto) t (x)=(1-3 \ln x+4 \cos x)^{8}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
t(x) = \bigl(1 - 3 \ln x + 4 \cos x\bigr)^{8}.
O conteúdo envolvido é a regra da cadeia, a derivada de \ln x e a derivada de \cos x.

Passo 2

Defina
u(x) = 1 - 3 \ln x + 4 \cos x,
assim t(x) = [u(x)]^{8}. Pela regra da cadeia,
t'(x) = 8\,[u(x)]^{7}\,\cdot u'(x).
Agora calculemos
u'(x) = \frac{d}{dx}\bigl(1\bigr) - 3\,\frac{d}{dx}(\ln x) + 4\,\frac{d}{dx}(\cos x) = 0 - 3\cdot\frac1x + 4\cdot(-\sin x) = -\frac{3}{x} - 4\sin x.
Portanto,
t'(x) = 8\bigl(1 - 3 \ln x + 4 \cos x\bigr)^{7} \!\left(-\frac{3}{x} - 4 \sin x\right).

Resposta

t'(x) = 8\bigl(1 - 3 \ln x + 4 \cos x\bigr)^{7} \!\left(-\frac{3}{x} - 4 \sin x\right).

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