Calcule e justifique.
lim x a raiz[n]x-raiz[n]ax-a n na-tural

Passo 1

O enunciado pede o cálculo de limxto adfracraiz[n]x-raiz[n]ax-a. O conteúdo envolvido é o conceito de derivada e quociente de diferença, pois essa expressão é exatamente a definição de derivada de uma função no ponto a.

Passo 2

Definimos a função f(x)=x^1/n. Pela definição de derivada, temos
f'(a)=limxto af(x)-f(a)x-a=limxto araiz[n]x-raiz[n]ax-a,
ou seja, o limite pedido é f'(a).

Passo 3

Para obter f'(x), usamos a regra do poder: se f(x)=x^m então f'(x)=m,x^m-1. Aqui m=1/n, portanto
f'(x)=1n,x^1n-1

Passo 4

Basta agora substituir x=a em f'(x). Como tfrac1n-1=-(n-1)/n, temos
f'(a)=1n,a^1n-1=1n,a^-n-1n=1n,a^n-1n

Resposta

1n,a^(n-1)/n

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