Calcule as primitivas abaixo
integral cossec u d u

Passo 1

A gente quer achar a primitiva de integral csc u,du. Esse é um caso clássico de integração de função trigonométrica, e o truque é usar uma multiplicação por csc u + cot u em cima e embaixo para facilitar uma substituição.

Passo 2

Começo multiplicando e dividindo o integrando por csc u + cot u. Assim a integral vira
integral csc u,du = integral csc u cdot csc u + cot ucsc u + cot u,du = integral csc u,(csc u + cot u)csc u + cot u,du

Passo 3

Agora faço a substituição
t = csc u + cot u,
cuja derivada é
dt = -l(csc ucot u + csc^2 ur),du = -csc u,(csc u + cot u),du
Então csc u,(csc u + cot u),du = -dt.

Passo 4

Substituindo na integral original:
integral csc u,du = integral -dtt = -integral 1t,dt = -ln|t| + C
Voltando para u:

Passo 5

Substituindo t = csc u + cot u de volta, a primitiva fica
-lnl|csc u + cot ur| + C

Resposta

-\ln|\csc u + \cot u| + C

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