Calcule \left\langle x^{2}\right\rangle no estado n=2,, l=1, m=1.
Atenção: esse estado não é simétrico em x, y, z. Use x=r \operatorname{sen} \theta \cos \varphi.

Passo 1

O enunciado pede claramente o seguinte:
  • Calcular \left\langle x^{2}\right\rangle no estado descrito pelos números quânticos n=2, l=1, m=1.
  • Foi enfatizado que o estado não é simétrico nas três direções e que se use x=r\sin\theta\cos\varphi.
Informações relevantes que temos (essas serão usadas diretamente na resolução):
  • A função de onda em coordenadas esféricas separa-se como \psi_{n,l,m}(r,\theta,\varphi)=R_{n,l}(r)\,Y_{l}^{m}(\theta,\varphi).
  • O elemento de volume em coordenadas esféricas é dV=r^{2}\sin\theta\,dr\,d\theta\,d\varphi.
  • Para este problema precisaremos das formas concretas de R_{2,1}(r) e de Y_{1}^{1}(\theta,\varphi), e da expressão x=r\sin\theta\cos\varphi.

Passo 2

Escrever a expectativa como integral de volume e separar parte radial e angular.
A definição é
\left\langle x^{2}\right\rangle=\int_{\mathbb{R}^{3}}\psi^{*}(r,\theta,\varphi)\;x^{2}\;\psi(r,\theta,\varphi)\,dV.
Substituindo \psi=R_{2,1}(r)Y_{1}^{1}(\theta,\varphi) e x=r\sin\theta\cos\varphi e dV=r^{2}\sin\theta\,dr\,d\theta\,d\varphi, obtemos
\left\langle x^{2}\right\rangle =\int_{0}^{\infty}\!\int_{0}^{\pi}\!\int_{0}^{2\pi} |R_{2,1}(r)|^{2}\,|Y_{1}^{1}(\theta,\varphi)|^{2}\, \bigl(r\sin\theta\cos\varphi\bigr)^{2}\,r^{2}\sin\theta\,d\varphi\,d\theta\,dr.
Agrupando fatores de r e separando integrais radial e angular:
\left\langle x^{2}\right\rangle =\left(\int_{0}^{\infty} r^{4}|R_{2,1}(r)|^{2}\,dr\right) \left(\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{\pi} |Y_{1}^{1}(\theta,\varphi)|^{2}\sin^{2}\theta\cos^{2}\varphi\sin\theta\,d\theta\,d\varphi\right).
Ou de forma compacta,
\left\langle x^{2}\right\rangle=I_{r}\cdot I_{\Omega},
onde I_{r}=\displaystyle\int_{0}^{\infty} r^{4}|R_{2,1}(r)|^{2}\,dr e
I_{\Omega}=\displaystyle\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{\pi}|Y_{1}^{1}|^{2}\sin^{3}\theta\cos^{2}\varphi\,d\theta\,d\varphi.

Passo 3

Fornecer a forma explícita da parte radial R_{2,1}(r) e calcular |R_{2,1}(r)|^{2}.
A função radial bem conhecida para o átomo de hidrogênio (com raio de Bohr a_{0}) é, para n=2,l=1,
R_{2,1}(r)=\frac{1}{2\sqrt{6}\,a_{0}^{5/2}}\;r\;e^{-r/(2a_{0})}.
Aqui a_{0} é o raio de Bohr e r tem dimensão de comprimento. Agora elevando ao quadrado:
|R_{2,1}(r)|^{2}=\frac{1}{24\,a_{0}^{5}}\;r^{2}\;e^{-r/a_{0}}.

Passo 4

Calcular a integral radial I_{r}=\displaystyle\int_{0}^{\infty} r^{4}|R_{2,1}(r)|^{2}\,dr.
Substituindo |R_{2,1}|^{2}:
I_{r}=\int_{0}^{\infty} r^{4}\left(\frac{1}{24\,a_{0}^{5}}\,r^{2}e^{-r/a_{0}}\right)dr =\frac{1}{24\,a_{0}^{5}}\int_{0}^{\infty} r^{6}e^{-r/a_{0}}\,dr.
Usar a fórmula de integrais do tipo \displaystyle\int_{0}^{\infty} r^{n}e^{-\alpha r}\,dr=\frac{n!}{\alpha^{\,n+1}} (válida para \alpha>0 e n inteiro não negativo). Aqui n=6 e \alpha=1/a_{0}, então
\int_{0}^{\infty} r^{6}e^{-r/a_{0}}\,dr = \frac{6!}{(1/a_{0})^{7}} = 720\,a_{0}^{7}.
Portanto
I_{r}=\frac{1}{24\,a_{0}^{5}}\cdot 720\,a_{0}^{7}=\frac{720}{24}\,a_{0}^{2}=30\,a_{0}^{2}.
Breve comentário didático: a presença do fator r^{4} na integral radial vem de juntar r^{2} do volume e r^{2} de x^{2}=r^{2}\sin^{2}\theta (antes de separar a parte angular).

Passo 5

Calcular a integral angular I_{\Omega}=\displaystyle\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{\pi}|Y_{1}^{1}|^{2}\sin^{3}\theta\cos^{2}\varphi\,d\theta\,d\varphi.
A forma padrão do harmônico esférico Y_{1}^{1} (com normalização usual) é
Y_{1}^{1}(\theta,\varphi)=-\sqrt{\frac{3}{8\pi}}\,\sin\theta\,e^{i\varphi},
e portanto
|Y_{1}^{1}(\theta,\varphi)|^{2}=\frac{3}{8\pi}\sin^{2}\theta.
Substituindo em I_{\Omega}:
I_{\Omega}=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi}\frac{3}{8\pi}\sin^{2}\theta\;\sin^{3}\theta\;\cos^{2}\varphi\,d\theta\,d\varphi =\frac{3}{8\pi}\left(\int_{0}^{2\pi}\cos^{2}\varphi\,d\varphi\right)\left(\int_{0}^{\pi}\sin^{5}\theta\,d\theta\right).
Calcular cada uma:
  • \displaystyle\int_{0}^{2\pi}\cos^{2}\varphi\,d\varphi=\pi (porque \cos^{2} tem média 1/2 em um período 2\pi).
  • Para potências ímpares de seno no intervalo 0 a \pi vale a redução \displaystyle\int_{0}^{\pi}\sin^{n}\theta\,d\theta=\frac{n-1}{n}\int_{0}^{\pi}\sin^{n-2}\theta\,d\theta. Usando isso com n=5 e sabendo que \int_{0}^{\pi}\sin\theta\,d\theta=2, temos \int_{0}^{\pi}\sin^{3}\theta\,d\theta=\frac{2}{3}\cdot 2=\frac{4}{3},\qquad \int_{0}^{\pi}\sin^{5}\theta\,d\theta=\frac{4}{5}\cdot\frac{4}{3}=\frac{16}{15}.
Agora juntar:
I_{\Omega}=\frac{3}{8\pi}\cdot\pi\cdot\frac{16}{15}=\frac{3}{8}\cdot\frac{16}{15}=\frac{48}{120}=\frac{2}{5}.
Comentário didático: a simetria em \varphi e a forma |Y_{1}^{1}|^{2}\propto\sin^{2}\theta facilitaram muito as integrais.

Passo 6

Combinar as duas integrais para obter \left\langle x^{2}\right\rangle.
Temos I_{r}=30\,a_{0}^{2} e I_{\Omega}=2/5. Assim
\left\langle x^{2}\right\rangle = I_{r}\,I_{\Omega}=30\,a_{0}^{2}\cdot\frac{2}{5}=12\,a_{0}^{2}.
Verificação rápida de consistência: \langle r^{2}\rangle=I_{r}=30\,a_{0}^{2}. Para este estado as componentes x e y são equivalentes por simetria (entre si) então \langle x^{2}\rangle=\langle y^{2}\rangle. Assim 2\langle x^{2}\rangle+\langle z^{2}\rangle=\langle r^{2}\rangle leva a \langle z^{2}\rangle=30-24=6\,a_{0}^{2}, compatível com a distribuição angular de Y_{1}^{1} (mais concentrada no plano equatorial, portanto \langle z^{2}\rangle menor).

Resposta

\left\langle x^{2}\right\rangle = 12\,a_{0}^{2}

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