Calcule
no estado
.
Atenção: esse estado não é simétrico em
. Use
.
Passo 1
O enunciado pede claramente o seguinte:
- Calcular
no estado descrito pelos números quânticos , , . - Foi enfatizado que o estado não é simétrico nas três direções e que se use
.
Informações relevantes que temos (essas serão usadas diretamente na resolução):
- A função de onda em coordenadas esféricas separa-se como
. - O elemento de volume em coordenadas esféricas é
. - Para este problema precisaremos das formas concretas de
e de , e da expressão .
Passo 2
Escrever a expectativa como integral de volume e separar parte radial e angular.
A definição é
Substituindo
e
e
, obtemos
Agrupando fatores de
e separando integrais radial e angular:
Ou de forma compacta,
onde
e
.
Passo 3
Fornecer a forma explícita da parte radial
e calcular
.
A função radial bem conhecida para o átomo de hidrogênio (com raio de Bohr
) é, para
,
Aqui
é o raio de Bohr e
tem dimensão de comprimento. Agora elevando ao quadrado:
Passo 4
Calcular a integral radial
.
Substituindo
:
Usar a fórmula de integrais do tipo
(válida para
e
inteiro não negativo). Aqui
e
, então
Portanto
Breve comentário didático: a presença do fator
na integral radial vem de juntar
do volume e
de
(antes de separar a parte angular).
Passo 5
Calcular a integral angular
.
A forma padrão do harmônico esférico
(com normalização usual) é
e portanto
Substituindo em
:
Calcular cada uma:
-
(porque tem média em um período ). - Para potências ímpares de seno no intervalo
a vale a redução . Usando isso com e sabendo que , temos
Agora juntar:
Comentário didático: a simetria em
e a forma
facilitaram muito as integrais.
Passo 6
Combinar as duas integrais para obter
.
Temos
e
. Assim
Verificação rápida de consistência:
. Para este estado as componentes
e
são equivalentes por simetria (entre si) então
. Assim
leva a
, compatível com a distribuição angular de
(mais concentrada no plano equatorial, portanto
menor).