Calcule
\left.\iint_{B} e^{x^{2}+y^{2}} d x d y \text { onde } B \text { é o círculo } x^{2}+y^{2} \leq 4\right\}éí.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{B} e^{x^{2}+y^{2}}\,dx\,dy
onde B é o disco definido por x^{2}+y^{2}\le4. O método mais eficiente aqui é usar coordenadas polares.

Passo 2

Em coordenadas polares fazemos
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,\quad dx\,dy = r\,dr\,d\theta
e o domínio B vira
0\le r\le 2,\quad 0\le \theta\le 2\pi.
Assim a integral fica
\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{2} e^{r^{2}}\;r\,dr\,d\theta.

Passo 3

Para a parte em r usamos a substituição u=r^{2}, du=2r\,dr, logo r\,dr = \tfrac12\,du. Os limites são u(0)=0 e u(2)=4. Então
\int_{0}^{2} e^{r^{2}}\,r\,dr = \int_{0}^{4} e^{u}\,\frac{du}{2} = \frac{1}{2}\bigl[e^{u}\bigr]_{0}^{4} = \frac{e^{4}-1}{2}.

Passo 4

Agora integramos em \theta, que é trivial:
\int_{0}^{2\pi} d\theta = 2\pi.
Multiplicando pelos resultados obtemos
2\pi \cdot \frac{e^{4}-1}{2} = \pi\,(e^{4}-1).

Resposta

\pi\,(e^{4}-1)

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