Calcule f(t) onde:
L^{-1}\left\{\frac{s}{s^{2}+2 s-3}\right\}

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de Laplace
L^{-1}\Bigl\{\frac{s}{s^{2}+2s-3}\Bigr\}.
O conteúdo principal aqui é decompor a função em frações parciais e usar tabelas básicas de transformada inversa de Laplace.

Passo 2

Vamos fatorar o denominador s^{2}+2s-3. As raízes são dadas por
s^{2}+2s-3 = (s-1)(s+3).
Logo podemos escrever
\frac{s}{s^{2}+2s-3} = \frac{s}{(s-1)(s+3)} = \frac{A}{s-1} + \frac{B}{s+3}.

Passo 3

Para encontrar A\) e \(B\), igualamos \[s = A(s+3) + B(s-1).
Isso implica o sistema
\begin{cases} A + B = 1,\\\\ 3A - B = 0. \end{cases}
Da segunda equação vem B=3A\]. Substituindo na primeira, \(A+3A=1, logo A=\tfrac{1}{4} e B=\tfrac{3}{4}.

Passo 4

Agora reescrevemos a transformada e aplicamos inversa de Laplace conhecida:
\frac{s}{s^{2}+2s-3} = \frac{1/4}{s-1} + \frac{3/4}{s+3}.
Sabemos que
L^{-1}\{\tfrac{1}{s-a}\}=e^{at}.
Portanto,
f(t) = \tfrac{1}{4}e^{1\cdot t} + \tfrac{3}{4}e^{-3\cdot t}.

Resposta

f(t)=\frac{1}{4}e^{t} + \frac{3}{4}e^{-3t}.

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