Para o item (1.a), calcule o elemento (B A)_{23} e a segunda linha de B A sem calcular toda a matrix B A.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: calcular o elemento (BA)_{23} e calcular a segunda linha de BA sem calcular toda a matriz BA.\n
Informações dadas no enunciado que eu tenho aqui: apenas a instrução acima.\n
Informação que está faltando e que é necessária para um cálculo numérico: as matrizes A e B (ou, no mínimo, suas entradas relevantes e as dimensões). Sem conhecer A e B não é possível obter valores numéricos para (BA)_{23} ou para a segunda linha de BA. Neste exercício vou, portanto, explicar passo a passo COMO fazer esses cálculos no exame e mostrar um exemplo ilustrativo; no final direi por que não posso dar o valor numérico pedido sem as matrizes.

Passo 2

Verificação de dimensões (passo obrigatório antes de multiplicar): para que BA esteja definido, se B é de dimensão m\times n e A é de dimensão n\times p, então BA é uma matriz m\times p. Para que (BA)_{23} exista precisamos ter m\ge 2 (pelo menos 2 linhas em B) e p\ge 3 (pelo menos 3 colunas em A). Sempre verifique as dimensões primeiro para não errar na prova.

Passo 3

Fórmula geral para entradas do produto: a definição de multiplicação de matrizes diz que, para B de dimensão m\times n e A de dimensão n\times p,
(BA)_{ij}=\sum_{k=1}^{n} B_{ik}\,A_{kj}.
Expliquei tudo nessa fórmula: i é o índice da linha do produto BA, j é o índice da coluna do produto, e k percorre as colunas de B (ou linhas de A) que são as somas internas.

Passo 4

Aplicando ao caso pedido: o elemento (BA)_{23} (linha 2, coluna 3) é
(BA)_{23}=\sum_{k=1}^{n} B_{2k}\,A_{k3}.
Interpretação prática: para calcular (BA)_{23} você só precisa da segunda linha de B, isto é, os elementos B_{21},B_{22},\dots,B_{2n}, e da terceira coluna de A, isto é, os elementos A_{13},A_{23},\dots,A_{n3}. Faça o produto termo a termo e some.

Passo 5

Como obter a segunda linha inteira de BA sem calcular toda a matriz: a segunda linha de BA é o vetor linha obtido multiplicando a segunda linha de B pela matriz A. Em entradas:
\text{para todo } j\in\{1,\dots,p\}:\qquad (BA)_{2j}=\sum_{k=1}^{n} B_{2k}\,A_{kj}.
Outra forma muito útil de entender isso (que às vezes facilita cálculo mental ou por partes) é ver a segunda linha de BA como combinação linear das linhas de A:
\text{row}_2(BA)=\sum_{k=1}^{n} B_{2k}\,\text{row}_k(A).
Ou seja, pegue cada linha k de A, multiplique-a pelo escalar B_{2k} e some todas essas linhas escalares — o resultado é a segunda linha de BA.

Passo 6

Estratégia passo a passo prática para a prova (como fazer sem perder tempo):
  1. Confirme que a multiplicação é possível vendo as dimensões B:(m\times n), A:(n\times p).
  2. Para (BA)_{23}: escreva a segunda linha de B e a terceira coluna de A; calcule o produto escalar: multiplique os pares correspondentes e some.
  3. Para a segunda linha inteira: ou repita o produto escalar para cada coluna j de A (fazendo (BA)_{2j} para j=1,\dots,p), ou use a combinação linear das linhas de A que eu dei no passo anterior — escolha a que for mais curta (por exemplo, se a segunda linha de B tem muitos zeros, use a combinação linear; se A tem colunas simples, faça produtos escalares).
  4. Aproveite zeros e padrões (se B_{2k}=0 você ignora a linha k de A; se alguma coluna de A tiver muitos zeros, o produto escalar fica rápido).
  5. Faça as contas na ordem que evitar erros: calcule cada produto B_{2k}A_{kj} e mantenha uma soma acumulada, não tente memorizar muitos termos.

Passo 7

Exemplo numérico ilustrativo (apenas para treinar o procedimento). Vou escolher matrizes pequenas coerentes com os requisitos (EXEMPLO, não são as matrizes do seu enunciado):
B=\begin{pmatrix}1 & 2 & 0\\[4pt] -1 & 3 & 4\end{pmatrix}\quad(2\times 3),\qquad A=\begin{pmatrix}2 & 0 & 1 & 5\\[4pt] 1 & -1 & 2 & 0\\[4pt] 0 & 3 & -1 & 2\end{pmatrix}\quad(3\times 4).
Aqui BA será 2\times 4, então (BA)_{23} existe (linha 2, coluna 3). Calculemos seguindo a fórmula do passo 4:
(BA)_{23}=\sum_{k=1}^{3} B_{2k}A_{k3}=B_{21}A_{13}+B_{22}A_{23}+B_{23}A_{33}.
Substituindo os valores:
(BA)_{23}=(-1)\cdot 1 + 3\cdot 2 + 4\cdot (-1) = -1 + 6 -4 = 1.
Agora a segunda linha inteira ( \text{row}_2(BA)): usamos (BA)_{2j}=\sum_{k=1}^{3} B_{2k}A_{kj} para cada j\in\{1,2,3,4\}.
  • Para j=1:
(BA)_{21}=(-1)\cdot 2 + 3\cdot 1 + 4\cdot 0 = -2 + 3 + 0 = 1.
  • Para j=2:
(BA)_{22}=(-1)\cdot 0 + 3\cdot (-1) + 4\cdot 3 = 0 -3 +12 = 9.
  • Para j=3 já calculamos: (BA)_{23}=1.
  • Para j=4:
(BA)_{24}=(-1)\cdot 5 + 3\cdot 0 + 4\cdot 2 = -5 + 0 + 8 = 3.
Portanto, no exemplo:
\text{row}_2(BA)=(1,\;9,\;1,\;3).
Repare que em nenhum momento calculei toda a matriz por blocos: só usei a segunda linha de B e as colunas necessárias de A.]

Passo 8

Erros comuns e dicas finais rápidas:
  • Confundir linha de B com coluna de B. Para (BA)_{ij} você usa a linha i de B e a coluna j de A.
  • Esquecer de checar as dimensões antes de começar.
  • Não aproveitar zeros/padrões: sempre procure zeros na linha de B (elas anulam termos) ou colunas de A simples.
  • Se estiver com pouco tempo, calcule somente a linha/entrada pedida — isso já economiza trabalho.

Resposta

Não é possível calcular (BA)_{23} nem a segunda linha de BA porque as matrizes A e B não foram fornecidas.

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