Para o item (1.a), calcule o elemento (B A)_{23} e a segunda linha de B A sem calcular toda a matrix B A.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: calcular o elemento (BA)_{23} e calcular a segunda linha de BA sem calcular toda a matriz BA.\n
Informações dadas no enunciado que eu tenho aqui: apenas a instrução acima.\n
Informação que está faltando e que é necessária para um cálculo numérico: as matrizes A e B (ou, no mínimo, suas entradas relevantes e as dimensões). Sem conhecer A e B não é possível obter valores numéricos para (BA)_{23} ou para a segunda linha de BA. Neste exercício vou, portanto, explicar passo a passo COMO fazer esses cálculos no exame e mostrar um exemplo ilustrativo; no final direi por que não posso dar o valor numérico pedido sem as matrizes.
Passo 2
Verificação de dimensões (passo obrigatório antes de multiplicar): para que BA esteja definido, se B é de dimensão m\times n e A é de dimensão n\times p, então BA é uma matriz m\times p. Para que (BA)_{23} exista precisamos ter m\ge 2 (pelo menos 2 linhas em B) e p\ge 3 (pelo menos 3 colunas em A). Sempre verifique as dimensões primeiro para não errar na prova.
Passo 3
Fórmula geral para entradas do produto: a definição de multiplicação de matrizes diz que, para B de dimensão m\times n e A de dimensão n\times p,
(BA)_{ij}=\sum_{k=1}^{n} B_{ik}\,A_{kj}.
Expliquei tudo nessa fórmula: i é o índice da linha do produto BA, j é o índice da coluna do produto, e k percorre as colunas de B (ou linhas de A) que são as somas internas.
Passo 4
Aplicando ao caso pedido: o elemento (BA)_{23} (linha 2, coluna 3) é
(BA)_{23}=\sum_{k=1}^{n} B_{2k}\,A_{k3}.
Interpretação prática: para calcular (BA)_{23} você só precisa da segunda linha de B, isto é, os elementos B_{21},B_{22},\dots,B_{2n}, e da terceira coluna de A, isto é, os elementos A_{13},A_{23},\dots,A_{n3}. Faça o produto termo a termo e some.
Passo 5
Como obter a segunda linha inteira de BA sem calcular toda a matriz: a segunda linha de BA é o vetor linha obtido multiplicando a segunda linha de B pela matriz A. Em entradas:
\text{para todo } j\in\{1,\dots,p\}:\qquad (BA)_{2j}=\sum_{k=1}^{n} B_{2k}\,A_{kj}.
Outra forma muito útil de entender isso (que às vezes facilita cálculo mental ou por partes) é ver a segunda linha de BA como combinação linear das linhas de A:
Ou seja, pegue cada linha k de A, multiplique-a pelo escalar B_{2k} e some todas essas linhas escalares — o resultado é a segunda linha de BA.
Passo 6
Estratégia passo a passo prática para a prova (como fazer sem perder tempo):
Confirme que a multiplicação é possível vendo as dimensões B:(m\times n), A:(n\times p).
Para (BA)_{23}: escreva a segunda linha de B e a terceira coluna de A; calcule o produto escalar: multiplique os pares correspondentes e some.
Para a segunda linha inteira: ou repita o produto escalar para cada coluna j de A (fazendo (BA)_{2j} para j=1,\dots,p), ou use a combinação linear das linhas de A que eu dei no passo anterior — escolha a que for mais curta (por exemplo, se a segunda linha de B tem muitos zeros, use a combinação linear; se A tem colunas simples, faça produtos escalares).
Aproveite zeros e padrões (se B_{2k}=0 você ignora a linha k de A; se alguma coluna de A tiver muitos zeros, o produto escalar fica rápido).
Faça as contas na ordem que evitar erros: calcule cada produto B_{2k}A_{kj} e mantenha uma soma acumulada, não tente memorizar muitos termos.
Passo 7
Exemplo numérico ilustrativo (apenas para treinar o procedimento). Vou escolher matrizes pequenas coerentes com os requisitos (EXEMPLO, não são as matrizes do seu enunciado):