Calcule x e y para que \left[\begin{array}{c}x^{2}-y \\\\ 2 x+y \\\\ 2 x y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}0 \\\\ 3 \\\\ 2\end{array}\right]
Passo 1
O enunciado dá uma igualdade de vetores, o que significa que as componentes correspondentes são iguais. Assim obtemos o sistema de três equações (pegando os dados do enunciado):
x^{2}-y=0
2x+y=3
2xy=2
O que o problema pede é encontrar os valores de x e y reais que satisfazem simultaneamente essas três equações.
Passo 2
Vou isolar uma variável numa das equações para poder substituir nas outras — método de substituição. A primeira equação é simples para isolar y. Da primeira equação:
x^{2}-y=0 \quad\Rightarrow\quad y=x^{2}.
Aqui foi só passar y para o outro lado da igualdade.
Passo 3
Agora substituo y=x^{2} na terceira equação porque ela é bastante direta. A terceira equação é 2xy=2. Substituindo y:
2x\cdot x^{2}=2 \quad\Rightarrow\quad 2x^{3}=2.
Divido ambos os lados por 2:
x^{3}=1.
Passo 4
Resolver x^{3}=1 no conjunto dos números reais dá:
x=1.
(Observação: no conjunto dos números complexos há outras raízes complexas, mas como o problema é de variáveis reais, usamos x=1.)
Passo 5
Com x=1 encontro y usando y=x^{2}:
y=1^{2}=1.
Passo 6
É sempre bom verificar que a solução obtida satisfaz todas as equações do sistema. Substituindo x=1 e y=1:
Primeira: x^{2}-y=1^{2}-1=0 — ok.
Segunda: 2x+y=2\cdot1+1=3 — ok.
Terceira: 2xy=2\cdot1\cdot1=2 — ok.
Tudo confere, logo a solução é válida.
Passo 7
(Mini-aula complementar e alternativa) Outra forma seria substituir y=x^{2} na segunda equação e resolver a quadrática:
2x+x^{2}=3 \quad\Rightarrow\quad x^{2}+2x-3=0.
Fatorando:
(x+3)(x-1)=0,
portanto x=-3 ou x=1. Mas ao testar x=-3 com y=x^{2}=9 a terceira equação dá 2xy=2\cdot(-3)\cdot9=-54\neq2, então x=-3 é rejeitado. Isso confirma que a única solução real é x=1,\;y=1.