Construa uma matriz A_{\text {de }} ordem 3 \times 3 tal que A^{t}=-A. Responda aos questionamentos seguintes:
a) Que característica é possível observar em relação à diagonal principal dessas duas matrizes?
Reposta: são nulos
b) E quanto aos elementos constituintes da matriz A, que caracteristicas podemos observar?
Reposta: os elementos dispostos simetricamente em relação à diagonal principal são opostos.
C) Será que essa é uma característica que também ocorre nas matrizes que não são quadradas? Como podemos verificar isso?
Reposta: Não. Esta característica exige simetria dos elementos da matriz, em relação à diagonal principal e a obtenção desta simetria só é possível em matrizes quadradas.
d) A característica observada no item “b” também é verificada em relação à diagonal secundária da matriz criada?
Reposta: Não.
Passo 1
Vou deixar claro o que o enunciado pede e quais dados temos. O objetivo é construir uma matriz de ordem 3\times3 chamada A tal que
A^{t} = -A.
As perguntas pedem observações sobre:
a) a diagonal principal das duas matrizes (A e A^{t});
b) as características dos elementos da matriz A (ou seja, relação entre entradas simetricamente dispostas em relação à diagonal principal);
c) se essa característica se aplica também a matrizes não quadradas e como verificar isso;
d) se a característica do item (b) também é verificada em relação à diagonal secundária da matriz criada.
Passo 2
Primeira lição rápida: o que significa A^{t} = -A.
A^{t} é a matriz transposta de A: a linha i de A vira a coluna i em A^{t}. Formalmente, o elemento na linha i e coluna j de A^{t} é (A^{t})_{ij} = A_{ji}.
A igualdade A^{t} = -A significa que, para todo par de índices i,j,
(A^{t})_{ij} = -A_{ij}.
Usando (A^{t})_{ij}=A_{ji}, isso dá a relação fundamental para matrizes assimétricas (antissimétricas, ou skew-symmetric):
A_{ji} = -A_{ij}\quad\text{para todo }i,j.
Passo 3
Construção concreta de uma matriz 3\times3 que satisfaz A^{t}=-A. Vou escrever a forma geral e depois escolher números para ficar bem claro.
e de fato A^{t} = -A porque cada entrada de A^{t} é o negativo da correspondente em A.
Passo 4
Prova e explicação didática da propriedade da diagonal principal (item a).
Pegue um elemento da diagonal A_{ii}. A relação A^{t}=-A aplicada a índices iguais dá
A_{ii} = (A^{t})_{ii} = -A_{ii}.
Somando A_{ii} em ambos os lados:
2A_{ii}=0 \quad\Rightarrow\quad A_{ii}=0.
Conclusão: todos os elementos da diagonal principal de A são nulos. Isso vale também para A^{t} (pois A^{t}=-A, então sua diagonal também é zero). É por isso que a resposta curta “são nulos” está correta — e aqui está a demonstração.
Passo 5
Explicação didática da característica dos elementos fora da diagonal (item b).
Da relação geral A_{ji}=-A_{ij}, para i\neq j vemos que os elementos simetricamente posicionados em relação à diagonal principal (isto é, A_{ij} e A_{ji}) são opostos:
A_{ji} = -A_{ij}.
Exemplo com a matriz escolhida: A_{12}=2 e A_{21}=-2; A_{13}=-1 e A_{31}=1; A_{23}=3 e A_{32}=-3. Sempre um é o negativo do outro. Essa é a característica definidora de uma matriz antissimétrica.
Passo 6
Sobre matrizes não quadradas (item c): por que a característica exige ser quadrada.
Se A tem dimensões m\times n com m\neq n, então A^{t} tem dimensões n\times m. A igualdade A^{t}=-A só faz sentido se as duas matrizes tiverem as mesmas dimensões, portanto é necessário m=n. Logo, a possibilidade de impor A^{t}=-A exige que A seja quadrada. Em palavras simples: só faz sentido falar que uma matriz é igual à sua negativa transposta quando a transposta tem as mesmas dimensões — isso só ocorre quando a matriz é quadrada. Assim, em matrizes não quadradas não se pode exigir essa mesma característica (exceto no sentido formal de que a igualdade de matrizes entre objetos de dimensões diferentes é simplesmente impossível).
Passo 7
Sobre a diagonal secundária (item d): por que a característica do item (b) não se aplica a ela.
A definição A^{t}=-A relaciona entradas (i,j) com (j,i), ou seja, simetria em relação à diagonal principal. A diagonal secundária (anti-diagonal) tem outra simetria: um elemento (i,j) reflete-se em (n+1-j,n+1-i) numa matriz n\times n. Não há nenhuma relação geral que conecte (i,j) com (n+1-j,n+1-i) a partir de A^{t}=-A. Para ver com um contraexemplo prático, na matriz que construí:
os elementos simétricos em relação à diagonal secundária formam pares como (1,2) e (2,3) (porque (1,2) reflete em (3-2+1,3-1+1)=(2,3)). Aqui A_{12}=2 e A_{23}=3: não são opostos. Portanto a propriedade de serem opostos não se mantém em geral em relação à diagonal secundária. Em resumo: a antissimetria é sobre a diagonal principal, não sobre a secundária.
Resposta
a) Os elementos da diagonal principal são 0.
b) Elementos dispostos simetricamente em relação à diagonal principal são opostos: A_{ji}=-A_{ij}.
c) Não; a igualdade A^{t}=-A só faz sentido se A for quadrada, pois só assim A^{t} tem as mesmas dimensões de A.
d) Não. A relação A_{ji}=-A_{ij} refere-se à diagonal principal e não impõe uma relação equivalente em torno da diagonal secundária.