Problema 2 - Duas Pessoas Carregando uma Viga

Duas pessoas, \mathbf{A} e \mathbf{B}, carregam uma viga homogênea de madeira de comprimento L=3 \mathrm{~m} e massa M. A viga é mantida na posição horizontal e em equilíbrio estático. A pessoa \mathbf{A} sustenta a viga em um ponto localizado a 1 m da extremidade direita, enquanto a pessoa \mathbf{B} sustenta a viga em um ponto localizado a 0,5 \mathrm{~m} da extremidade esquerda.
Com base no cálculo da condição de equilíbrio vertical e no cálculo dos torques das forças em relação a um ponto O escolhido convenientemente, identifique qual das duas pessoas está realizando o maior esforço para manter a viga em equilíbrio.

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações (todas pegadas do texto do problema):
  • Comprimento da viga: L=3\\ \mathrm{m}.
  • Massa da viga: M (logo o peso é Mg, com g a aceleração da gravidade).
  • A pessoa \mathbf{A} segura a viga num ponto a 1\\ \mathrm{m} da extremidade direita.
  • A pessoa \mathbf{B} segura a viga num ponto a 0{,}5\\ \mathrm{m} da extremidade esquerda.
  • A viga é homogênea e está em equilíbrio estático, na horizontal.
O que o problema pede:
  • Identificar qual das duas pessoas ( \mathbf{A} ou \mathbf{B}) faz maior esforço para manter a viga em equilíbrio.
  • (Implícito) calcular as forças verticais de reação em \mathbf{A} e \mathbf{B} para comparar os esforços.

Passo 2

Escolher um referencial para medir posições ao longo da viga. Vou medir a posição x a partir da extremidade esquerda ( x=0 na esquerda e x=L na direita). Então:
  • Posição de \mathbf{B}: \,x_B = 0{,}5\\ \mathrm{m} (peguei do enunciado).
  • Posição de \mathbf{A}: como está a 1\\ \mathrm{m} da extremidade direita, tem x_A = L - 1 = 3 - 1 = 2\\ \mathrm{m}.
  • Centro de massa (peso) da viga homogênea: no meio da viga, \,x_{\text{cm}} = \tfrac{L}{2} = \tfrac{3}{2} = 1{,}5\\ \mathrm{m}.
É importante saber que o peso atua em x_{\text{cm}}. As forças de contato em \mathbf{A} e \mathbf{B} atuam verticalmente para cima em x_A e x_B; chamo-as de F_A e F_B, positivas para cima.

Passo 3

Condição de equilíbrio vertical (soma das forças verticais igual a zero). Isso vem da segunda lei de Newton no equilíbrio estático:
\sum F_y = 0 \quad\Rightarrow\quad F_A + F_B - Mg = 0.
Ou seja,
F_A + F_B = Mg.
Explicação didática curta: a soma das forças para cima ( F_A,F_B) deve equilibrar o peso para baixo ( Mg) para que a viga não tenha aceleração vertical.

Passo 4

Condição de equilíbrio rotacional (soma dos torques igual a zero). Definição de torque (momento): para uma força F aplicada perpendicularmente a uma barra a uma distância d do ponto de giro, o torque em módulo é \tau = F\,d. O sinal (positivo/negativo) depende do sentido de rotação que a força tende a produzir em relação ao ponto escolhido.
Escolher um ponto de cálculo de torques que simplifique as contas: se eu escolher o ponto em B (ou seja, tomar torques em relação ao ponto onde \mathbf{B} segura), a força F_B tem braço de alavanca zero e não aparece na equação de momentos — isso elimina uma incógnita da equação de torque. Essa é uma estratégia comum em estática: escolher o pivô onde atua uma força cuja conta se deseja evitar.

Passo 5

Aplicar a soma dos torques em relação ao ponto B. Tomarei o sentido contrarrelógio (CCW) como positivo.
  • Braço de alavanca entre A e B: d_{A/B} = x_A - x_B = 2{,}0 - 0{,}5 = 1{,}5\\ \mathrm{m}.
  • Braço de alavanca entre o peso e B: d_{W/B} = x_{\text{cm}} - x_B = 1{,}5 - 0{,}5 = 1{,}0\\ \mathrm{m}.
A força F_A (para cima) aplicada à direita de B tende a girar a viga no sentido CCW (positivo). O peso Mg (para baixo) aplicado entre B e A tende a girar no sentido horário (CW), que será negativo. A equação de momentos é:
\sum \tau_{B} = 0 \quad\Rightarrow\quad F_A\,(x_A-x_B) - Mg\,(x_{\text{cm}}-x_B) = 0.
Substituindo os valores:
F_A\cdot 1{,}5 - Mg\cdot 1{,}0 = 0.
Logo
F_A = Mg\cdot\frac{1{,}0}{1{,}5} = Mg\cdot\frac{2}{3} = \tfrac{2}{3}Mg.
Comentário didático: ao escolher o ponto B como pivô, a reação F_B não aparece; a equação de momento permite encontrar diretamente F_A. Note que o resultado é uma fração simples \tfrac{2}{3}Mg, então não é preciso valor numérico de M ou g para comparar esforços relativos.

Passo 6

Determinar F_B usando a condição de equilíbrio vertical F_A + F_B = Mg. Substituindo F_A:
F_B = Mg - F_A = Mg - \tfrac{2}{3}Mg = \tfrac{1}{3}Mg.
Comparação dos esforços:
F_A = \tfrac{2}{3}Mg,\qquad F_B = \tfrac{1}{3}Mg.
Portanto F_A > F_B. Em palavras: a pessoa \mathbf{A} suporta o dobro da força que a pessoa \mathbf{B} suporta.

Passo 7

Interpretação física curta e encorajamento: a pessoa que está mais próxima do centro de massa exerce menor força; aqui \mathbf{B} está mais próxima do centro (distância 1{,}0\\ \mathrm{m} do centro) do que \mathbf{A} (distância 0{,}5\\ \mathrm{m} do centro? atenção: veja posições: x_A=2, x_{\text{cm}}=1{,}5 então distância de A ao centro é 0{,}5\\ \mathrm{m} e de B ao centro é 1{,}0\\ \mathrm{m}; logo quem está mais próximo do centro é \mathbf{A}, mas por causa da distribuição dos braços e do equilíbrio global, finda-se que \mathbf{A} sustenta maior carga — a conclusão numérica é que \mathbf{A} exerce o maior esforço). Ótimo trabalho por chegar até aqui — tenta reproduzir este procedimento num exercício parecido trocando posições para fixar a ideia de torque e alavanca.

Resposta

Pessoa \mathbf{A}: F_A=\tfrac{2}{3}Mg
Pessoa \mathbf{B}: F_B=\tfrac{1}{3}Mg
Portanto, a pessoa \mathbf{A} realiza o maior esforço.

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