Problema 2 - Duas Pessoas Carregando uma Viga
Duas pessoas,
e
, carregam uma viga homogênea de madeira de comprimento
e massa
. A viga é mantida na posição horizontal e em equilíbrio estático. A pessoa
sustenta a viga em um ponto localizado a 1 m da extremidade direita, enquanto a pessoa
sustenta a viga em um ponto localizado a
da extremidade esquerda.
Com base no cálculo da condição de equilíbrio vertical e no cálculo dos torques das forças em relação a um ponto
escolhido convenientemente, identifique qual das duas pessoas está realizando o maior esforço para manter a viga em equilíbrio.
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações (todas pegadas do texto do problema):
- Comprimento da viga:
. - Massa da viga:
(logo o peso é , com a aceleração da gravidade). - A pessoa
segura a viga num ponto a da extremidade direita. - A pessoa
segura a viga num ponto a da extremidade esquerda. - A viga é homogênea e está em equilíbrio estático, na horizontal.
O que o problema pede:
- Identificar qual das duas pessoas (
ou ) faz maior esforço para manter a viga em equilíbrio. - (Implícito) calcular as forças verticais de reação em
e para comparar os esforços.
Passo 2
Escolher um referencial para medir posições ao longo da viga. Vou medir a posição
a partir da extremidade esquerda (
na esquerda e
na direita). Então:
- Posição de
: (peguei do enunciado). - Posição de
: como está a da extremidade direita, tem . - Centro de massa (peso) da viga homogênea: no meio da viga,
É importante saber que o peso atua em
. As forças de contato em
e
atuam verticalmente para cima em
e
; chamo-as de
e
, positivas para cima.
Passo 3
Condição de equilíbrio vertical (soma das forças verticais igual a zero). Isso vem da segunda lei de Newton no equilíbrio estático:
Ou seja,
Explicação didática curta: a soma das forças para cima (
) deve equilibrar o peso para baixo (
) para que a viga não tenha aceleração vertical.
Passo 4
Condição de equilíbrio rotacional (soma dos torques igual a zero). Definição de torque (momento): para uma força
aplicada perpendicularmente a uma barra a uma distância
do ponto de giro, o torque em módulo é
. O sinal (positivo/negativo) depende do sentido de rotação que a força tende a produzir em relação ao ponto escolhido.
Escolher um ponto de cálculo de torques que simplifique as contas: se eu escolher o ponto em
(ou seja, tomar torques em relação ao ponto onde
segura), a força
tem braço de alavanca zero e não aparece na equação de momentos — isso elimina uma incógnita da equação de torque. Essa é uma estratégia comum em estática: escolher o pivô onde atua uma força cuja conta se deseja evitar.
Passo 5
Aplicar a soma dos torques em relação ao ponto
. Tomarei o sentido contrarrelógio (CCW) como positivo.
- Braço de alavanca entre
e : - Braço de alavanca entre o peso e
:
A força
(para cima) aplicada à direita de
tende a girar a viga no sentido CCW (positivo). O peso
(para baixo) aplicado entre
e
tende a girar no sentido horário (CW), que será negativo. A equação de momentos é:
Substituindo os valores:
Logo
Comentário didático: ao escolher o ponto
como pivô, a reação
não aparece; a equação de momento permite encontrar diretamente
. Note que o resultado é uma fração simples
, então não é preciso valor numérico de
ou
para comparar esforços relativos.
Passo 6
Determinar
usando a condição de equilíbrio vertical
. Substituindo
:
Comparação dos esforços:
Portanto
. Em palavras: a pessoa
suporta o dobro da força que a pessoa
suporta.
Passo 7
Interpretação física curta e encorajamento: a pessoa que está mais próxima do centro de massa exerce menor força; aqui
está mais próxima do centro (distância
do centro) do que
(distância
do centro? atenção: veja posições:
,
então distância de
ao centro é
e de
ao centro é
; logo quem está mais próximo do centro é
, mas por causa da distribuição dos braços e do equilíbrio global, finda-se que
sustenta maior carga — a conclusão numérica é que
exerce o maior esforço). Ótimo trabalho por chegar até aqui — tenta reproduzir este procedimento num exercício parecido trocando posições para fixar a ideia de torque e alavanca.
Resposta
Pessoa
:
Pessoa :
Portanto, a pessoa realiza o maior esforço.
Pessoa
Portanto, a pessoa