Problema 1 - Pêndulo Físico
Considere um pêndulo físico constituído por um corpo rígido de massa
. O eixo de rotação passa por um ponto
que não coincide com o centro de massa do corpo. Mostre que, para pequenas oscilações (
), a equação diferencial pode ser aproximada por uma equação linear. Adote a aceleração da gravidade como
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para pequenas oscilações
, a equação diferencial do pêndulo físico pode ser aproximada por uma equação linear. As informações relevantes são:
- Corpo rígido de massa
. - Eixo de rotação passa por um ponto
que não coincide com o centro de massa. - Distância do ponto
até o centro de massa é (pego do enunciado implícito do pêndulo físico). - Aceleração da gravidade é
. - A variável dinâmica é o deslocamento angular
medido a partir da posição de equilíbrio (vertical para baixo). - Queremos a forma linearizada da equação de movimento válida para
.
Passo 2
Vamos lembrar a lei fundamental da dinâmica rotacional: a soma dos torques (momentos) em torno do ponto de rotação é igual ao momento de inércia em torno desse ponto multiplicado pela aceleração angular. Em símbolos:
onde:
-
é o torque (positivo segundo a convenção escolhida), -
é o momento de inércia do corpo em torno do eixo que passa por , -
é a segunda derivada temporal de (aceleração angular).
Explicação didática: isso é análogo a
para translação; para rotação a “força” é o torque e a “massa” é
.
Passo 3
Calcular o torque gravitacional restaurador. A força peso atua no centro de massa com magnitude
, vertical para baixo. O braço de alavanca é
. O torque restaurador, com sinal que tende a reduzir
, tem magnitude
e sinal negativo (se
o torque tende a reduzir
). Portanto:
Explicação didática: o módulo do torque é
. Aqui
,
e o ângulo relevante dá
. O sinal negativo vem da direção do momento (restaurador).
Passo 4
Aplicar a equação rotacional com o torque encontrado. Substituindo em
obtém-se a equação exata (não linear):
Aqui
é o momento de inércia do corpo em relação ao eixo em
. Observação prática: se for necessário relacionar
com o momento de inércia em torno do centro de massa
, usa-se o teorema dos eixos paralelos:
Passo 5
Fazer a aproximação para pequenas oscilações. Para
(em radianos) podemos usar a expansão em série de Taylor da função seno:
Explicação didática: a primeira parcela da série é
, as demais são muito menores quando
é pequeno; por exemplo para
rad,
bem próximo de
.
Passo 6
Substituindo
na equação exata obtemos a equação linearizada:
Rearranjando:
Explicação didática: esta é uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes; é a equação de um oscilador harmônico simples.
Passo 7
Identificar a frequência natural e a solução geral. Definindo
a equação fica
cuja solução geral é
onde
e
são constantes determinadas pelas condições iniciais. O período de pequenas oscilações é
Explicação didática: a forma da equação e da solução é exatamente a do pêndulo harmônico linear;
e
dependem do momento de inércia
e da alavanca
.
Passo 8
Exemplo-relacionamento (ajuda para memorização): se toda a massa
estivesse concentrada num ponto a uma distância
do pivô (pêndulo simples), então
e da expressão de
vem
que é a fórmula familiar do pêndulo simples. Isso confirma que a expressão do pêndulo físico generaliza o caso clássico.