Problema 1 - Pêndulo Físico

Considere um pêndulo físico constituído por um corpo rígido de massa M. O eixo de rotação passa por um ponto O que não coincide com o centro de massa do corpo. Mostre que, para pequenas oscilações ( \theta \ll 1 ), a equação diferencial pode ser aproximada por uma equação linear. Adote a aceleração da gravidade como g.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para pequenas oscilações \theta\ll1, a equação diferencial do pêndulo físico pode ser aproximada por uma equação linear. As informações relevantes são:
  • Corpo rígido de massa M.
  • Eixo de rotação passa por um ponto O que não coincide com o centro de massa.
  • Distância do ponto O até o centro de massa é d (pego do enunciado implícito do pêndulo físico).
  • Aceleração da gravidade é g.
  • A variável dinâmica é o deslocamento angular \theta(t) medido a partir da posição de equilíbrio (vertical para baixo).
  • Queremos a forma linearizada da equação de movimento válida para \theta\ll1.

Passo 2

Vamos lembrar a lei fundamental da dinâmica rotacional: a soma dos torques (momentos) em torno do ponto de rotação é igual ao momento de inércia em torno desse ponto multiplicado pela aceleração angular. Em símbolos:
\sum \tau = I\,\ddot{\theta},
onde:
  • \tau é o torque (positivo segundo a convenção escolhida),
  • I é o momento de inércia do corpo em torno do eixo que passa por O,
  • \ddot{\theta} é a segunda derivada temporal de \theta (aceleração angular).
Explicação didática: isso é análogo a F=ma para translação; para rotação a “força” é o torque e a “massa” é I.

Passo 3

Calcular o torque gravitacional restaurador. A força peso atua no centro de massa com magnitude M g, vertical para baixo. O braço de alavanca é d. O torque restaurador, com sinal que tende a reduzir \theta, tem magnitude M g d \sin\theta e sinal negativo (se \theta>0 o torque tende a reduzir \theta). Portanto:
\tau = -M g d \sin\theta.
Explicação didática: o módulo do torque é rF\sin\varphi. Aqui r=d, F=M g e o ângulo relevante dá \sin\theta. O sinal negativo vem da direção do momento (restaurador).

Passo 4

Aplicar a equação rotacional com o torque encontrado. Substituindo em \sum\tau = I\ddot{\theta} obtém-se a equação exata (não linear):
I\,\ddot{\theta} = -M g d \sin\theta.
Aqui I é o momento de inércia do corpo em relação ao eixo em O. Observação prática: se for necessário relacionar I com o momento de inércia em torno do centro de massa I_{\rm CM}, usa-se o teorema dos eixos paralelos:
I = I_{\rm CM} + M d^{2}.

Passo 5

Fazer a aproximação para pequenas oscilações. Para |\theta|\ll1 (em radianos) podemos usar a expansão em série de Taylor da função seno:
\sin\theta = \theta - \dfrac{\theta^{3}}{6} + \cdots \approx \theta.
Explicação didática: a primeira parcela da série é \theta, as demais são muito menores quando \theta é pequeno; por exemplo para \theta=0{,}1 rad, \sin\theta\approx0{,}0998 bem próximo de 0{,}1.

Passo 6

Substituindo \sin\theta\approx\theta na equação exata obtemos a equação linearizada:
I\,\ddot{\theta} \approx -M g d\,\theta.
Rearranjando:
I\,\ddot{\theta} + M g d\,\theta = 0.
Explicação didática: esta é uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes; é a equação de um oscilador harmônico simples.

Passo 7

Identificar a frequência natural e a solução geral. Definindo
\omega^{2}=\dfrac{M g d}{I},
a equação fica
\ddot{\theta} + \omega^{2}\theta = 0,
cuja solução geral é
\theta(t)=A\cos(\omega t + \varphi),
onde A e \varphi são constantes determinadas pelas condições iniciais. O período de pequenas oscilações é
T=2\pi\sqrt{\dfrac{I}{M g d}}.
Explicação didática: a forma da equação e da solução é exatamente a do pêndulo harmônico linear; \omega e T dependem do momento de inércia I e da alavanca d.

Passo 8

Exemplo-relacionamento (ajuda para memorização): se toda a massa M estivesse concentrada num ponto a uma distância L do pivô (pêndulo simples), então I=M L^{2} e da expressão de \omega^{2} vem
\omega^{2}=\dfrac{M g L}{M L^{2}}=\dfrac{g}{L},
que é a fórmula familiar do pêndulo simples. Isso confirma que a expressão do pêndulo físico generaliza o caso clássico.

Resposta

I\,\ddot{\theta} + M g d\,\theta = 0.
\omega^{2}=\dfrac{M g d}{I},\qquad T=2\pi\sqrt{\dfrac{I}{M g d}}.

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