1. Calcule \left\langle\sin ^{2}(\omega t)\right\rangle \equiv \frac{1}{T} \int_{0}^{T} \sin ^{2}(\omega t) d t, onde \omega=\frac{2 \pi}{T}. Resp: \frac{1}{2}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a média temporal
\left\langle\sin^{2}(\omega t)\right\rangle \equiv \frac{1}{T}\int_{0}^{T}\sin^{2}(\omega t)\,dt,
sendo dada a relação entre \omega e T:
\omega=\frac{2\pi}{T}.
Informações relevantes fornecidas: o intervalo de integração é de 0 a T; \omega T=2\pi; o que se pede é o valor numérico da média definida acima.

Passo 2

Vamos usar uma identidade trigonométrica muito útil que transforma \sin^{2} em uma soma mais simples. A identidade é
\cos(2x)=1-2\sin^{2}x,
que, isolando \sin^{2}x, dá
\sin^{2}x=\frac{1-\cos(2x)}{2}.
Explico rapidinho: essa identidade vem da fórmula do cosseno do ângulo duplo; basta rearranjar para expressar \sin^{2} em termos de \cos(2x). Aqui x é um ângulo qualquer; no nosso caso usaremos x=\omega t.

Passo 3

Substituindo a identidade em \sin^{2}(\omega t) dentro da média, obtemos
\left\langle\sin^{2}(\omega t)\right\rangle=\frac{1}{T}\int_{0}^{T}\frac{1-\cos(2\omega t)}{2}\,dt.
Fatorando constantes:
\left\langle\sin^{2}(\omega t)\right\rangle=\frac{1}{2T}\int_{0}^{T}\bigl(1-\cos(2\omega t)\bigr)\,dt.

Passo 4

Separe a integral em duas partes (linearidade da integral):
\left\langle\sin^{2}(\omega t)\right\rangle=\frac{1}{2T}\left[\int_{0}^{T}1\,dt-\int_{0}^{T}\cos(2\omega t)\,dt\right].
Calcule a primeira integral, que é simples:
\int_{0}^{T}1\,dt = T,
logo a contribuição da primeira parte é
\frac{1}{2T}\cdot T = \frac{1}{2}.

Passo 5

Agora calcule a segunda integral
\int_{0}^{T}\cos(2\omega t)\,dt.
A primitiva de \cos(2\omega t) em relação a t é \frac{1}{2\omega}\sin(2\omega t). Avaliando de 0 a T temos
\int_{0}^{T}\cos(2\omega t)\,dt = \left.\frac{1}{2\omega}\sin(2\omega t)\right|_{0}^{T} = \frac{1}{2\omega}\bigl(\sin(2\omega T)-\sin(0)\bigr).
Como \omega T=2\pi, segue que 2\omega T=4\pi e \sin(4\pi)=0. Portanto
\int_{0}^{T}\cos(2\omega t)\,dt = 0.
Isso significa que a segunda parcela não contribui para a média (a componente cosseno integra para zero em um número inteiro de períodos).

Passo 6

Juntando os resultados das duas parcelas:
\left\langle\sin^{2}(\omega t)\right\rangle = \frac{1}{2} - \frac{1}{2T}\cdot 0 = \frac{1}{2}.
Interpretação prática: a parte constante fornece 1/2 e a oscilação de cosseno tem média zero em um período completo, então a média de \sin^{2} sobre um período é 1/2. Dica de prova/exame: memorize a identidade \sin^{2}x=(1-\cos2x)/2 — ela resolve rapidamente médias e integrais de quadrados de seno ou cosseno.

Resposta

\dfrac{1}{2}

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