3 (Rolamento, torque e quantidade de movimento angular - 3,3 pontos). Um disco, um anel e uma estera maciça de mesmo raio R e massa M descem rolando em uma rampa inclinada de comprimento de S=3.0 \mathrm{~m} e altura h=0.8 \mathrm{~m}, sem deslizar. Considerando o ponto de partida para ambos no mesmo nivel h da rampa, no mesmo intantes e com velocidade inicial nula.
a) Qual qual a ordem de chegada no final da rampa?
b) Qual o tempo de descida da rampa para cada um destes corpos em rolagem?
Considere I_{\text {Duco }}=\frac{M+R^{2}}{2}, I_{\text {Ancl }}=M R^{2}, I_{\text {E.Jera }}-\frac{M R^{2}}{5}, R=10,0 \mathrm{~cm} g=9,8 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. Qual a ordem de chegada no final da rampa.
  2. Qual o tempo de descida da rampa para cada corpo.
Dados fornecidos:
S=3{,}0\\ \mathrm{m},\quad h=0{,}8\\ \mathrm{m},\quad R=10{,}0\\ \mathrm{cm}=0{,}10\\ \mathrm{m},\quad g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^{2}},
os três corpos têm mesma massa M e mesmo raio R. Partem do repouso e descem rolando sem deslizar.
Momentos de inércia indicados no enunciado (havia pequenos erros tipográficos no original); vou usar as formas padrões assumidas para disco, anel e esfera maciça:
I_{\text{disco}}=\frac{1}{2}M R^{2},\qquad I_{\text{anel}}=M R^{2},\qquad I_{\text{esfera}}=\frac{2}{5}M R^{2}.
Observação: interpretei “estera maciça” como “esfera maciça” e corrigi o coeficiente para \tfrac{2}{5} (forma padrão).

Passo 2

Vamos usar conservação de energia para achar a velocidade final ao chegar ao pé da rampa. Explicando a teoria de forma direta e didática:
  • Energia potencial inicial: E_{p}=M g h.
  • Ao chegar abaixo, a energia transformou-se em energia cinética translacional K_{\text{trans}}=\tfrac{1}{2}M v^{2} e em energia cinética rotacional K_{\text{rot}}=\tfrac{1}{2}I\omega^{2}.
  • Para rolagem sem deslize vale a relação de não-deslizamento \omega=\dfrac{v}{R} (ou seja, a velocidade linear do centro é a velocidade angular vezes o raio).
Aplicando conservação de energia:
M g h=\tfrac{1}{2}M v^{2}+\tfrac{1}{2}I\omega^{2} =\tfrac{1}{2}M v^{2}+\tfrac{1}{2}I\left(\frac{v}{R}\right)^{2}.
Isolando v^{2}:
M g h=\tfrac{1}{2}M v^{2}\left(1+\frac{I}{M R^{2}}\right) \quad\Rightarrow\quad v^{2}=\frac{2 g h}{1+\dfrac{I}{M R^{2}}}.
Aqui \dfrac{I}{M R^{2}} é um número adimensional que mede quanta energia fica girando (quanto maior, mais energia rotacional e menor v).

Passo 3

Calcular v para cada corpo usando os valores de \dfrac{I}{M R^{2}}:
  • Para o anel: \dfrac{I}{M R^{2}}=1. v_{\text{anel}}^{2}=\frac{2 g h}{1+1}=\frac{2 g h}{2}=g h.
  • Para o disco: \dfrac{I}{M R^{2}}=\tfrac{1}{2}. v_{\text{disco}}^{2}=\frac{2 g h}{1+\tfrac{1}{2}}=\frac{2 g h}{\tfrac{3}{2}}=\frac{4}{3} g h.
  • Para a esfera: \dfrac{I}{M R^{2}}=\tfrac{2}{5}. v_{\text{esfera}}^{2}=\frac{2 g h}{1+\tfrac{2}{5}}=\frac{2 g h}{\tfrac{7}{5}}=\frac{10}{7} g h.
Agora numericamente: g h=9{,}8\cdot 0{,}8=7{,}84\\ \mathrm{m^{2}/s^{2}}.
  • v_{\text{esfera}}=\sqrt{\frac{10}{7}\,g h}=\sqrt{\frac{10}{7}\cdot 7{,}84}=\sqrt{11{,}20}=3{,}35\\ \mathrm{m/s}
(arredondando para 3 dígitos: 3{,}35\\ \mathrm{m/s}).
  • v_{\text{disco}}=\sqrt{\frac{4}{3}\,g h}=\sqrt{\frac{4}{3}\cdot 7{,}84}=\sqrt{10{,}45}=3{,}23\\ \mathrm{m/s}.
  • v_{\text{anel}}=\sqrt{g h}=\sqrt{7{,}84}=2{,}80\\ \mathrm{m/s}.

Passo 4

Comparando as velocidades finais: v_{\text{esfera}}>v_{\text{disco}}>v_{\text{anel}}. Portanto a ordem de chegada (quem é mais rápido) é:
  1. Esfera (chega primeiro)
  2. Disco (meio)
  3. Anel (chega por último)
Intuição física: objetos com menor fração da energia armazenada na rotação (menor \dfrac{I}{M R^{2}}) deixam mais energia para a translação, portanto saem mais rápidos.

Passo 5

Agora vamos achar o tempo de descida. Para isso derivamos a aceleração do centro de massa durante a descida (forma padrão usando forças e torque):
  • Na direção ao longo da rampa a força que puxa para baixo é M g \sin\theta, e o atrito estático f atua para impedir o deslizamento. Pela segunda lei de Newton:
M a = M g \sin\theta - f.
  • O atrito produz um torque que acelera a rotação: \tau=f R = I \alpha. Como \alpha=\dfrac{a}{R} (não deslizamento), temos
f R = I\frac{a}{R}\quad\Rightarrow\quad f=\frac{I}{R^{2}}\,a.
  • Substituindo f na equação de translação:
M a = M g \sin\theta - \frac{I}{R^{2}}\,a \quad\Rightarrow\quad a\left(M+\frac{I}{R^{2}}\right)=M g \sin\theta.
Dividindo por M:
a=\frac{g\sin\theta}{1+\dfrac{I}{M R^{2}}}.
Isso coincide com a expressão intuitiva: quanto maior \dfrac{I}{M R^{2}}, menor a aceleração.

Passo 6

Relacionar \sin\theta com os dados h e S. A rampa tem comprimento S e altura h, então \sin\theta=\dfrac{h}{S}.
Assim:
a=\frac{g\,h/S}{1+\dfrac{I}{M R^{2}}}=\frac{g h}{S\left(1+\dfrac{I}{M R^{2}}\right)}.
Como a partícula parte do repouso e percorre a distância S com aceleração constante a, vale
S=\tfrac{1}{2}a t^{2}\quad\Rightarrow\quad t=\sqrt{\frac{2S}{a}}.
Substituindo a:
t=\sqrt{\frac{2S}{\dfrac{g h}{S(1+\tfrac{I}{M R^{2}})}}} = S\sqrt{\frac{2\left(1+\dfrac{I}{M R^{2}}\right)}{g h}}.
Portanto
t = S\sqrt{\frac{2\bigl(1+\beta\bigr)}{g h}},\quad\text{onde }\beta=\dfrac{I}{M R^{2}}.

Passo 7

Calcular numericamente para cada corpo usando \beta_{\text{esfera}}=\tfrac{2}{5}=0{,}4, \beta_{\text{disco}}=0{,}5, \beta_{\text{anel}}=1, com S=3{,}0\\ \mathrm{m} e g h=7{,}84\\ \mathrm{m^{2}/s^{2}}.
  • Esfera ( \beta=0{,}4):
t_{\text{esfera}}=3{,}0\sqrt{\frac{2(1+0{,}4)}{7{,}84}} =3{,}0\sqrt{\frac{2{,}8}{7{,}84}} =3{,}0\sqrt{0{,}357142\ldots} \approx 3{,}0\cdot 0{,}5976=1{,}79\\ \mathrm{s}.
  • Disco ( \beta=0{,}5):
t_{\text{disco}}=3{,}0\sqrt{\frac{2(1+0{,}5)}{7{,}84}} =3{,}0\sqrt{\frac{3{,}0}{7{,}84}} =3{,}0\sqrt{0{,}38265\ldots} \approx 3{,}0\cdot 0{,}6186=1{,}86\\ \mathrm{s}.
  • Anel ( \beta=1):
t_{\text{anel}}=3{,}0\sqrt{\frac{2(1+1)}{7{,}84}} =3{,}0\sqrt{\frac{4{,}0}{7{,}84}} =3{,}0\sqrt{0{,}510204\ldots} \approx 3{,}0\cdot 0{,}7144=2{,}14\\ \mathrm{s}.
Valores arredondados com 3 dígitos significativos:
t_{\text{esfera}}\approx 1{,}79\\ \mathrm{s},\quad t_{\text{disco}}\approx 1{,}86\\ \mathrm{s},\quad t_{\text{anel}}\approx 2{,}14\\ \mathrm{s}.

Resposta

Ordem de chegada: Esfera (primeiro), Disco (segundo), Anel (último).
t_{\text{esfera}}\approx 1{,}79\\ \mathrm{s}
t_{\text{disco}}\approx 1{,}86\\ \mathrm{s}
t_{\text{anel}}\approx 2{,}14\\ \mathrm{s}

Exercícios relacionados