3 (Rolamento, torque e quantidade de movimento angular - 3,3 pontos). Um disco, um anel e uma estera maciça de mesmo raio R e massa M descem rolando em uma rampa inclinada de comprimento de S=3.0 \mathrm{~m} e altura h=0.8 \mathrm{~m}, sem deslizar. Considerando o ponto de partida para ambos no mesmo nivel h da rampa, no mesmo intantes e com velocidade inicial nula.
a) Qual qual a ordem de chegada no final da rampa?
b) Qual o tempo de descida da rampa para cada um destes corpos em rolagem?
os três corpos têm mesma massa M e mesmo raio R. Partem do repouso e descem rolando sem deslizar.
Momentos de inércia indicados no enunciado (havia pequenos erros tipográficos no original); vou usar as formas padrões assumidas para disco, anel e esfera maciça:
Observação: interpretei “estera maciça” como “esfera maciça” e corrigi o coeficiente para \tfrac{2}{5} (forma padrão).
Passo 2
Vamos usar conservação de energia para achar a velocidade final ao chegar ao pé da rampa. Explicando a teoria de forma direta e didática:
Energia potencial inicial: E_{p}=M g h.
Ao chegar abaixo, a energia transformou-se em energia cinética translacional K_{\text{trans}}=\tfrac{1}{2}M v^{2} e em energia cinética rotacional K_{\text{rot}}=\tfrac{1}{2}I\omega^{2}.
Para rolagem sem deslize vale a relação de não-deslizamento \omega=\dfrac{v}{R} (ou seja, a velocidade linear do centro é a velocidade angular vezes o raio).
Aplicando conservação de energia:
M g h=\tfrac{1}{2}M v^{2}+\tfrac{1}{2}I\omega^{2} =\tfrac{1}{2}M v^{2}+\tfrac{1}{2}I\left(\frac{v}{R}\right)^{2}.
Isolando v^{2}:
M g h=\tfrac{1}{2}M v^{2}\left(1+\frac{I}{M R^{2}}\right) \quad\Rightarrow\quad v^{2}=\frac{2 g h}{1+\dfrac{I}{M R^{2}}}.
Aqui \dfrac{I}{M R^{2}} é um número adimensional que mede quanta energia fica girando (quanto maior, mais energia rotacional e menor v).
Passo 3
Calcular v para cada corpo usando os valores de \dfrac{I}{M R^{2}}:
Para o anel: \dfrac{I}{M R^{2}}=1.v_{\text{anel}}^{2}=\frac{2 g h}{1+1}=\frac{2 g h}{2}=g h.
Para o disco: \dfrac{I}{M R^{2}}=\tfrac{1}{2}.v_{\text{disco}}^{2}=\frac{2 g h}{1+\tfrac{1}{2}}=\frac{2 g h}{\tfrac{3}{2}}=\frac{4}{3} g h.
Para a esfera: \dfrac{I}{M R^{2}}=\tfrac{2}{5}.v_{\text{esfera}}^{2}=\frac{2 g h}{1+\tfrac{2}{5}}=\frac{2 g h}{\tfrac{7}{5}}=\frac{10}{7} g h.
Agora numericamente: g h=9{,}8\cdot 0{,}8=7{,}84\\ \mathrm{m^{2}/s^{2}}.
Comparando as velocidades finais: v_{\text{esfera}}>v_{\text{disco}}>v_{\text{anel}}. Portanto a ordem de chegada (quem é mais rápido) é:
Esfera (chega primeiro)
Disco (meio)
Anel (chega por último)
Intuição física: objetos com menor fração da energia armazenada na rotação (menor \dfrac{I}{M R^{2}}) deixam mais energia para a translação, portanto saem mais rápidos.
Passo 5
Agora vamos achar o tempo de descida. Para isso derivamos a aceleração do centro de massa durante a descida (forma padrão usando forças e torque):
Na direção ao longo da rampa a força que puxa para baixo é M g \sin\theta, e o atrito estático f atua para impedir o deslizamento. Pela segunda lei de Newton:
M a = M g \sin\theta - f.
O atrito produz um torque que acelera a rotação: \tau=f R = I \alpha. Como \alpha=\dfrac{a}{R} (não deslizamento), temos
f R = I\frac{a}{R}\quad\Rightarrow\quad f=\frac{I}{R^{2}}\,a.
Substituindo f na equação de translação:
M a = M g \sin\theta - \frac{I}{R^{2}}\,a \quad\Rightarrow\quad a\left(M+\frac{I}{R^{2}}\right)=M g \sin\theta.
Dividindo por M:
a=\frac{g\sin\theta}{1+\dfrac{I}{M R^{2}}}.
Isso coincide com a expressão intuitiva: quanto maior \dfrac{I}{M R^{2}}, menor a aceleração.
Passo 6
Relacionar \sin\theta com os dados h e S. A rampa tem comprimento S e altura h, então \sin\theta=\dfrac{h}{S}.
t = S\sqrt{\frac{2\bigl(1+\beta\bigr)}{g h}},\quad\text{onde }\beta=\dfrac{I}{M R^{2}}.
Passo 7
Calcular numericamente para cada corpo usando \beta_{\text{esfera}}=\tfrac{2}{5}=0{,}4, \beta_{\text{disco}}=0{,}5, \beta_{\text{anel}}=1, com S=3{,}0\\ \mathrm{m} e g h=7{,}84\\ \mathrm{m^{2}/s^{2}}.