Uma particula de massa
desliza sem atrito num plano horizontal (
) com velocidade
(onde
e
correspondem aos vetores unitários ao longo dos eixos
e
, respectivamente). Em um certo instante, a particula explode, partindo-se em dois pedaços. O primeiro pedaço, de massa
, move-se entăo com velocidade
. O segundo pedaço, de massa
, move-se com velocidade
.
a) Expresse
em termos dos vetores unitários.
b) Expresse o vetor velocidade do centro de massa após a explosāo em termos dos vetores unitários.
c) Calcule a variaçăo de energia mecảnica
que ocorreu por causa da explosão. Interprete fisicamente o sinal de
.
a) Expresse
b) Expresse o vetor velocidade do centro de massa após a explosāo em termos dos vetores unitários.
c) Calcule a variaçăo de energia mecảnica
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede três coisas.
Dados fornecidos:
- Massa total da partícula antes da explosão:
. - Velocidade inicial da partícula (antes da explosão):
. - A partícula se parte em dois pedaços no instante considerado:
- Primeiro pedaço: massa
e velocidade . - Segundo pedaço: massa
e velocidade desconhecida (a determinar).
- Primeiro pedaço: massa
- Não há atrito e não atuam forças externas significativas durante a explosão (situação típica em que o momento linear do sistema se conserva).
Perguntas do enunciado:
a) Determine em termos de
e
.
b) Determine a velocidade do centro de massa após a explosão, em termos de e
.
c) Calcule a variação da energia mecânica causada pela explosão e interprete o sinal de
.
a) Determine
b) Determine a velocidade do centro de massa após a explosão, em termos de
c) Calcule a variação da energia mecânica
Passo 2
Princípio e fórmula que vamos usar (explicação didática):
- Conservação do momento linear: se não há forças externas impulsionantes no intervalo da explosão, o momento total do sistema antes da explosão é igual ao momento total após a explosão.
- Momento linear de um corpo é
, onde é a massa e a velocidade (vetor). - Para o sistema com duas massas depois da explosão:
- Essa é uma equação vetorial; vale separadamente para as componentes
e . Vou usar isso para achar .
Passo 3
Calcular o momento total antes da explosão:
- Velocidade inicial:
. - Momento inicial:
Escrevendo em componentes:
(componente
,
).
Passo 4
Calcular o momento do primeiro pedaço (dados do enunciado):
-
. -
. - Fazendo as contas componente a componente:
Em componentes:
.
Passo 5
Usar conservação do momento para achar
e depois
:
-
. - Substituindo componentes:
- Agora
. Como ,
Portanto a componente
é
e a componente
é
.
Passo 6
Velocidade do centro de massa (explicação e cálculo):
- Definição: a velocidade do centro de massa de um sistema de partículas é
onde
é a massa total do sistema.
- Aqui
. Então
- Mas
é justamente o momento total após a explosão, que por conservação é igual a . Logo
- Portanto a velocidade do centro de massa após a explosão é
, igual à velocidade inicial da partícula (como esperado por conservação do momento).
Passo 7
Energia cinética antes da explosão (fórmula e cálculo):
- Fórmula da energia cinética de uma partícula:
, onde é o quadrado da magnitude da velocidade. - Antes da explosão, todo o sistema se comportava como uma partícula de massa
com velocidade . Então
- Calculando:
, então
Passo 8
Energia cinética após a explosão (cada pedaço separadamente):
- Para o primeiro pedaço:
- Magnitude de
: . - Energia:
- Magnitude de
- Para o segundo pedaço:
- Magnitude de
: . - Energia:
- Magnitude de
- Energia total após:
Passo 9
Variação de energia mecânica e interpretação física:
- Variação:
- Interpretação do sinal:
é positivo, ou seja, a energia cinética total do sistema aumentou em . Como não houve trabalho de forças externas (explosão é um processo interno), essa energia adicional veio de energia interna (por exemplo energia química, potencial, etc.) liberada na explosão e transformada em energia cinética das partes. Em suma: a explosão adicionou energia mecânica ao sistema.
Resposta
a)
b)
c)
b)
c)