Uma particula de massa m=25 \mathrm{~kg} desliza sem atrito num plano horizontal ( x y ) com velocidade \vec{v}_{0}=(30,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}) \vec{i} (onde \vec{i} e \vec{j} correspondem aos vetores unitários ao longo dos eixos x e y, respectivamente). Em um certo instante, a particula explode, partindo-se em dois pedaços. O primeiro pedaço, de massa 10,0 \mathrm{~kg}, move-se entăo com velocidade \vec{v}_{1}=(15,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}) \vec{i}+(15,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}) \vec{j}. O segundo pedaço, de massa 15,0 \mathrm{~kg}, move-se com velocidade \vec{v}_{2}.
a) Expresse \vec{v}_{2} em termos dos vetores unitários.
b) Expresse o vetor velocidade do centro de massa após a explosāo em termos dos vetores unitários.
c) Calcule a variaçăo de energia mecảnica \Delta E_{m} que ocorreu por causa da explosão. Interprete fisicamente o sinal de \Delta E_{m}.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede três coisas.
Dados fornecidos:
  • Massa total da partícula antes da explosão: \;m=25\\ \mathrm{kg}.
  • Velocidade inicial da partícula (antes da explosão): \;\vec{v}_0=30\\ \mathrm{m/s}\,\vec{i}.
  • A partícula se parte em dois pedaços no instante considerado:
    • Primeiro pedaço: massa \;m_1=10{,}0\\ \mathrm{kg} e velocidade \;\vec{v}_1=15\\ \mathrm{m/s}\,\vec{i}+15\\ \mathrm{m/s}\,\vec{j}.
    • Segundo pedaço: massa \;m_2=15{,}0\\ \mathrm{kg} e velocidade desconhecida \;\vec{v}_2 (a determinar).
  • Não há atrito e não atuam forças externas significativas durante a explosão (situação típica em que o momento linear do sistema se conserva).
Perguntas do enunciado:
a) Determine \vec{v}_2 em termos de \vec{i} e \vec{j}.
b) Determine a velocidade do centro de massa após a explosão, em termos de \vec{i} e \vec{j}.
c) Calcule a variação da energia mecânica \Delta E_m causada pela explosão e interprete o sinal de \Delta E_m.

Passo 2

Princípio e fórmula que vamos usar (explicação didática):
  • Conservação do momento linear: se não há forças externas impulsionantes no intervalo da explosão, o momento total do sistema antes da explosão é igual ao momento total após a explosão.
  • Momento linear de um corpo é \;\vec{p}=m\,\vec{v}, onde \;m é a massa e \;\vec{v} a velocidade (vetor).
  • Para o sistema com duas massas depois da explosão:
\vec{p}_{\text{antes}}=\vec{p}_{\text{depois}} \quad\Longrightarrow\quad m\,\vec{v}_0 = m_1\,\vec{v}_1 + m_2\,\vec{v}_2.
  • Essa é uma equação vetorial; vale separadamente para as componentes x e y. Vou usar isso para achar \vec{v}_2.

Passo 3

Calcular o momento total antes da explosão:
  • Velocidade inicial: \vec{v}_0=30\\ \mathrm{m/s}\,\vec{i}.
  • Momento inicial:
\vec{p}_0 = m\,\vec{v}_0 = 25\\ \mathrm{kg}\cdot(30\\ \mathrm{m/s}\,\vec{i}) = (25\cdot 30)\\ \mathrm{kg\cdot m/s}\,\vec{i} = 750\\ \mathrm{kg\cdot m/s}\,\vec{i}.
Escrevendo em componentes: \vec{p}_0=(750,\,0)\\ \mathrm{kg\cdot m/s} (componente x=750, y=0).

Passo 4

Calcular o momento do primeiro pedaço (dados do enunciado):
  • \vec{v}_1 = 15\\ \mathrm{m/s}\,\vec{i} + 15\\ \mathrm{m/s}\,\vec{j}.
  • \vec{p}_1 = m_1\,\vec{v}_1 = 10\\ \mathrm{kg}\cdot(15\\ \mathrm{m/s}\,\vec{i}+15\\ \mathrm{m/s}\,\vec{j}).
  • Fazendo as contas componente a componente:
\vec{p}_1 = (10\cdot 15)\\ \mathrm{kg\cdot m/s}\,\vec{i} + (10\cdot 15)\\ \mathrm{kg\cdot m/s}\,\vec{j} = 150\\ \mathrm{kg\cdot m/s}\,\vec{i} + 150\\ \mathrm{kg\cdot m/s}\,\vec{j}.
Em componentes: \vec{p}_1=(150,\,150)\\ \mathrm{kg\cdot m/s}.

Passo 5

Usar conservação do momento para achar \vec{p}_2 e depois \vec{v}_2:
  • \vec{p}_2 = \vec{p}_0 - \vec{p}_1.
  • Substituindo componentes:
\vec{p}_2 = (750,\,0) - (150,\,150) = (750-150,\;0-150) = (600,\,-150)\\ \mathrm{kg\cdot m/s}.
  • Agora \vec{v}_2 = \dfrac{\vec{p}_2}{m_2}. Como m_2=15\\ \mathrm{kg},
\vec{v}_2 = \frac{1}{15}\,(600\,\vec{i} - 150\,\vec{j})\\ \mathrm{m/s} = (40\,\vec{i} - 10\,\vec{j})\\ \mathrm{m/s}.
Portanto a componente x é 40\\ \mathrm{m/s} e a componente y é -10\\ \mathrm{m/s}.

Passo 6

Velocidade do centro de massa (explicação e cálculo):
  • Definição: a velocidade do centro de massa de um sistema de partículas é
\vec{V}_{\text{CM}} = \frac{1}{M}\sum_i m_i\,\vec{v}_i,
onde M=\sum_i m_i é a massa total do sistema.
  • Aqui M=m_1+m_2=10+15=25\\ \mathrm{kg}. Então
\vec{V}_{\text{CM}} = \frac{m_1\vec{v}_1 + m_2\vec{v}_2}{M}.
  • Mas m_1\vec{v}_1 + m_2\vec{v}_2 é justamente o momento total após a explosão, que por conservação é igual a m\vec{v}_0. Logo
\vec{V}_{\text{CM}} = \frac{m\vec{v}_0}{M} = \frac{25\cdot(30\\ \mathrm{m/s}\,\vec{i})}{25} = 30\\ \mathrm{m/s}\,\vec{i}.
  • Portanto a velocidade do centro de massa após a explosão é \;30\\ \mathrm{m/s}\,\vec{i}, igual à velocidade inicial da partícula (como esperado por conservação do momento).

Passo 7

Energia cinética antes da explosão (fórmula e cálculo):
  • Fórmula da energia cinética de uma partícula: \;K=\tfrac{1}{2}m v^2, onde v^2 é o quadrado da magnitude da velocidade.
  • Antes da explosão, todo o sistema se comportava como uma partícula de massa m=25\\ \mathrm{kg} com velocidade v_0=30\\ \mathrm{m/s}. Então
K_{\text{antes}} = \tfrac{1}{2}\,m\,v_0^2 = \tfrac{1}{2}\cdot 25\cdot 30^2.
  • Calculando: 30^2=900, então
K_{\text{antes}} = 12{,}5\cdot 900 = 11250\\ \mathrm{J}.

Passo 8

Energia cinética após a explosão (cada pedaço separadamente):
  • Para o primeiro pedaço:
    • Magnitude de \vec{v}_1: v_1^2 = 15^2 + 15^2 = 225 + 225 = 450.
    • Energia:
    K_1 = \tfrac{1}{2}\,m_1\,v_1^2 = \tfrac{1}{2}\cdot 10\cdot 450 = 5\cdot 450 = 2250\\ \mathrm{J}.
  • Para o segundo pedaço:
    • Magnitude de \vec{v}_2: v_2^2 = 40^2 + (-10)^2 = 1600 + 100 = 1700.
    • Energia:
    K_2 = \tfrac{1}{2}\,m_2\,v_2^2 = \tfrac{1}{2}\cdot 15\cdot 1700 = 7{,}5\cdot 1700 = 12750\\ \mathrm{J}.
  • Energia total após:
K_{\text{depois}} = K_1 + K_2 = 2250 + 12750 = 15000\\ \mathrm{J}.

Passo 9

Variação de energia mecânica e interpretação física:
  • Variação:
\Delta E_m = K_{\text{depois}} - K_{\text{antes}} = 15000 - 11250 = 3750\\ \mathrm{J}.
  • Interpretação do sinal: \Delta E_m é positivo, ou seja, a energia cinética total do sistema aumentou em 3750\\ \mathrm{J}. Como não houve trabalho de forças externas (explosão é um processo interno), essa energia adicional veio de energia interna (por exemplo energia química, potencial, etc.) liberada na explosão e transformada em energia cinética das partes. Em suma: a explosão adicionou energia mecânica ao sistema.

Resposta

a) \vec{v}_2 = 40\\ \mathrm{m/s}\,\vec{i} - 10\\ \mathrm{m/s}\,\vec{j}
b) \vec{V}_{\text{CM}} = 30\\ \mathrm{m/s}\,\vec{i}
c) \Delta E_m = 3750\\ \mathrm{J}

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