Calcule a \left[\mathrm{H}_{3} \mathrm{O}^{+}\right],\left[\mathrm{H}_{2} \mathrm{PO}_{4}^{-}\right],\left[\mathrm{HPO}_{4}{ }^{2-}\right],\left[\mathrm{PO}_{4}{ }^{3-}\right] em uma solução 1,0 \mathrm{~mol} { }^{1} de \mathrm{H}_{3} \mathrm{PO}_{4}. (Dados: \mathrm{K}_{\mathrm{a} 1}=7,5 \times 10^{-3}, \mathrm{~K}_{\mathrm{a} 2}=6,2 \times 10^{-8} ; \mathrm{K}_{\mathrm{a} 3}=4,8 \times 10^{-13} )

Passo 1

O enunciado dá uma solução de ácido fosfórico \mathrm{H}_{3}\mathrm{PO}_{4} 1,0 M e pede as concentrações de \left[\mathrm{H}_{3}\mathrm{O}^{+}\right], \left[\mathrm{H}_{2}\mathrm{PO}_{4}^{-}\right], \left[\mathrm{HPO}_{4}^{2-}\right] e \left[\mathrm{PO}_{4}^{3-}\right]. Como é um ácido triprótico, vamos tratar cada etapa de dissociação sucessivamente, usando as constantes de acidez \mathrm{K}_{\mathrm{a}1}, \mathrm{K}_{\mathrm{a}2} e \mathrm{K}_{\mathrm{a}3}, e fazer aproximações sempre que uma dissociação for muito fraca em relação à anterior.

Passo 2

Para a primeira dissociação
\mathrm{H}_{3}\mathrm{PO}_{4}\rightleftharpoons \mathrm{H}^{+} + \mathrm{H}_{2}\mathrm{PO}_{4}^{-}
denotamos por x tanto a concentração de \mathrm{H}^{+} gerada quanto de \mathrm{H}_{2}\mathrm{PO}_{4}^{-}. Em equilíbrio, as concentrações são
\;[\mathrm{H}_{3}\mathrm{PO}_{4}]=1,0 - x,
\;[\mathrm{H}^{+}]=x,
\;[\mathrm{H}_{2}\mathrm{PO}_{4}^{-}]=x.
A constante \mathrm{K}_{\mathrm{a}1}=7,5\times10^{-3} satisfaz
\mathrm{K}_{\mathrm{a}1}=\frac{x\cdot x}{1,0 - x}=\frac{x^{2}}{1,0 - x}\,.
Resolvendo a equação quadrática \;x^{2}+7{,}5\times10^{-3}\,x -7{,}5\times10^{-3}=0 obtemos
x=8{,}29\times10^{-2}\,\text{M}.
Logo, após a primeira dissociação
\;[\mathrm{H}_{3}\mathrm{O}^{+}]\approx8{,}29\times10^{-2} M
e
\;[\mathrm{H}_{2}\mathrm{PO}_{4}^{-}]\approx8{,}29\times10^{-2} M.

Passo 3

Para a segunda dissociação
\mathrm{H}_{2}\mathrm{PO}_{4}^{-}\rightleftharpoons \mathrm{H}^{+} + \mathrm{HPO}_{4}^{2-}
denotamos por y a concentração de \mathrm{HPO}_{4}^{2-} formada. Em equilíbrio:
\;[\mathrm{H}_{2}\mathrm{PO}_{4}^{-}]=8{,}29\times10^{-2}-y,
\;[\mathrm{H}^{+}]=8{,}29\times10^{-2}+y\approx8{,}29\times10^{-2},
\;[\mathrm{HPO}_{4}^{2-}]=y.
A constante \mathrm{K}_{\mathrm{a}2}=6{,}2\times10^{-8}
6{,}2\times10^{-8}=\frac{(8{,}29\times10^{-2})\,y}{8{,}29\times10^{-2}-y}\approx y
porque y\ll8{,}29\times10^{-2}. Assim
y\approx6{,}2\times10^{-8}\,\text{M}.

Passo 4

Para a terceira dissociação
\mathrm{HPO}_{4}^{2-}\rightleftharpoons \mathrm{H}^{+} + \mathrm{PO}_{4}^{3-}
denotamos por z a concentração de \mathrm{PO}_{4}^{3-}. Em equilíbrio:
\;[\mathrm{HPO}_{4}^{2-}]=6{,}2\times10^{-8}-z,
\;[\mathrm{H}^{+}]\approx8{,}29\times10^{-2},
\;[\mathrm{PO}_{4}^{3-}]=z.
Com \mathrm{K}_{\mathrm{a}3}=4{,}8\times10^{-13} temos
4{,}8\times10^{-13}=\frac{(8{,}29\times10^{-2})\,z}{6{,}2\times10^{-8}-z}\approx\frac{8{,}29\times10^{-2}\,z}{6{,}2\times10^{-8}}
e então
z\approx\frac{4{,}8\times10^{-13}\times6{,}2\times10^{-8}}{8{,}29\times10^{-2}} \approx3{,}6\times10^{-19}\,\text{M}.

Resposta

\displaystyle[\mathrm{H}_{3}\mathrm{O}^{+}]=8{,}29\times10^{-2}\,\text{M}
\displaystyle[\mathrm{H}_{2}\mathrm{PO}_{4}^{-}]=8{,}29\times10^{-2}\,\text{M}
\displaystyle[\mathrm{HPO}_{4}^{2-}]=6{,}2\times10^{-8}\,\text{M}
\displaystyle[\mathrm{PO}_{4}^{3-}]=3{,}6\times10^{-19}\,\text{M}

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