Calcule: \left|\begin{array}{llll}1 & 1 & 1 & 1 \\\\ 1 & 2 & 2 & 2 \\\\ 1 & 2 & 3 & 3 \\\\ 1 & 2 & 3 & 4\end{array}\right|

Passo 1

O enunciado pede para calcular o determinante da matriz
M = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\\\ 1 & 2 & 2 & 2\\\\ 1 & 2 & 3 & 3\\\\ 1 & 2 & 3 & 4 \end{pmatrix}.
O conteúdo envolvido é determinante de matriz quadrada e vamos usar operações elementares de linha para triangularizar M, lembrando que subtrair uma linha de outra não altera o valor do determinante.

Passo 2

Vamos definir r_i como a i-ésima linha de M e fazer:
r_2\gets r_2 - r_1,
r_3\gets r_3_{\text{orig}} - r_2_{\text{orig}},
r_4\gets r_4_{\text{orig}} - r_3_{\text{orig}}.
Como cada uma dessas operações preserva o determinante, obtemos a matriz
M'=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\\\ 0 & 1 & 1 & 1\\\\ 0 & 0 & 1 & 1\\\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.

Passo 3

Agora M' é triangular superior, e o determinante de uma matriz triangular é o produto dos elementos da diagonal principal. Aqui cada elemento da diagonal é 1.

Resposta

\det(M)=1\!.

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