Calcule os determinantes:
A=\left|\begin{array}{rrr} 1 & a & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & 1 \end{array}\right| \quad e \quad B=\left|\begin{array}{rrrr} 1 & 0 & 0 & 3 \\ a & 1 & -1 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 1 & 4 \end{array}\right|

Passo 1

O enunciado pede para calcular os determinantes de
A = \begin{pmatrix} 1 & a & 0\\\\ 0 & 1 & 1\\\\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix} \quad\text{e}\quad B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 3\\\ a & 1 & -1 & 4\\\\ 0 & 0 & 0 & 3\\\\ 0 & 1 & 1 & 4 \end{pmatrix}.
O conteúdo é cálculo de determinantes usando expansão de Laplace e propriedades de cofactores.

Passo 2

Para \det(A) expandimos por Laplace ao longo da primeira linha:
\det(A) =1\cdot\det\begin{pmatrix}1 & 1\\\ -1 & 1\end{pmatrix} -\,a\cdot\det\begin{pmatrix}0 & 1\\\ 0 & 1\end{pmatrix} +0\cdot(\cdots).
Calculando os menores:
\det\begin{pmatrix}1 & 1\\\ -1 & 1\end{pmatrix} =1\cdot1 -1\cdot(-1)=2, \quad \det\begin{pmatrix}0 & 1\\\ 0 & 1\end{pmatrix} =0\cdot1 -1\cdot0=0.
Logo
\det(A)=1\cdot2 - a\cdot0 = 2.

Passo 3

Para \det(B) observamos que a terceira linha é (0,0,0,3). Fazendo expansão de Laplace por essa linha sobra só o termo da coluna 4:
\det(B) =(-1)^{3+4}\cdot3\cdot\det(M),
onde
M=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\ a & 1 & -1\\\\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}.

Passo 4

Calculamos \det(M) expandindo pela primeira linha:
\det(M) =1\cdot\det\begin{pmatrix}1 & -1\\\ 1 & 1\end{pmatrix} =1\cdot\bigl(1\cdot1 -(-1)\cdot1\bigr) =2.
Logo
\det(B)=(-1)^{7}\cdot3\cdot2 = -1\cdot3\cdot2 = -6.

Resposta

\det(A)=2
\det(B)=-6

Exercícios relacionados