Calcule \lim \frac{n^{3} \sin n!}{n^{5}+1}

Passo 1

O enunciado pede calcular a seguinte limite quando n cresce sem limite:
\lim_{n\to\infty}\frac{n^{3}\sin n!}{n^{5}+1}.
Informações dadas e observações imediatas:
  • A expressão é uma sequência (índice n inteiro positivo) cujo termo geral é \dfrac{n^{3}\sin n!}{n^{5}+1}.
  • Não há outras condições escondidas; assumir-se-á o comportamento quando n\to\infty.
  • Precisamos obter o valor do limite (um número real) ou mostrar que não existe.

Passo 2

Usar um fato básico sobre a função seno que é fundamental aqui: para todo número real x vale
-1\le \sin x \le 1,
ou seja,
|\sin x|\le 1.
Explicação rápida e intuitiva: \sin x é a coordenada vertical de um ponto sobre o círculo unitário, então seu valor máximo absoluto é 1. Essa desigualdade vale para qualquer argumento, inclusive para x=n!.

Passo 3

Aplicando a desigualdade do seno ao termo da sequência, obtemos uma desigualdade para o valor absoluto do termo:
\left|\frac{n^{3}\sin n!}{n^{5}+1}\right|\le \frac{n^{3}\cdot |\sin n!|}{n^{5}+1}\le \frac{n^{3}}{n^{5}+1}.
Aqui foi usado que |\sin n!|\le 1. Esta desigualdade já reduz o problema a analisar o comportamento de \dfrac{n^{3}}{n^{5}+1} quando n\to\infty.

Passo 4

Simplificar ainda mais o majorante: para todo n\ge 1 temos n^{5}+1\ge n^{5}. Logo
\frac{n^{3}}{n^{5}+1}\le \frac{n^{3}}{n^{5}}=\frac{1}{n^{2}}.
Portanto, para todo n\ge 1,
\left|\frac{n^{3}\sin n!}{n^{5}+1}\right|\le \frac{1}{n^{2}}.

Passo 5

Agora usamos o limite conhecido (ou facilmente provável por definição \varepsilon- N) de uma sequência simples:
\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^{2}}=0.
Raciocínio rápido por \varepsilon-definição: dado \varepsilon>0, escolha N>\sqrt{1/\varepsilon}. Para n\ge N tem-se 1/n^{2}<\varepsilon, portanto 1/n^{2}\to 0.

Passo 6

Aplicando o Teorema do Confronto (Squeeze Theorem): se |a_n|\le b_n para todo n e b_n\to 0, então a_n\to 0. Aqui a_n=\dfrac{n^{3}\sin n!}{n^{5}+1} e b_n=1/n^{2}. Como b_n\to 0, concluímos que
\lim_{n\to\infty}\frac{n^{3}\sin n!}{n^{5}+1}=0.
Intuição: o fator \sin n! fica preso entre -1 e 1, enquanto o quociente dos polinômios tem ordem \dfrac{n^3}{n^5}=\dfrac{1}{n^2}, que vai a zero; portanto o produto também vai a zero.

Resposta

0

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