Verdadeiro ou falso? Justifique. Seja
uma função:
Dada
, se A é finito e f é injetiva então B é finito?
Dada
Passo 1
O enunciado nos dá uma função
e afirma duas hipóteses:
-
é um conjunto finito; -
é injetiva (ou seja, uma função um‑para‑um).
A pergunta é: a partir disso, sempre segue que
é finito?
Passo 2
Definição e intuição sobre conjunto finito.
- Dizemos que um conjunto
é finito se existe um número natural tal que tem exatamente elementos. Em notação de bijeção: existe bijeção entre e o conjunto . - Exemplos:
é finito (tem 2 elementos). O conjunto dos naturais é infinito (não existe que conte todos os elementos).
Passo 3
Definição e intuição sobre injetividade.
- A função
é injetiva se, para quaisquer ,
- Intuitivamente: elementos distintos de
têm imagens distintas em . Não há “colisões” de imagens.
Passo 4
O que acontece com a imagem
.
- Defina
. Por definição, . - A restrição
é sobreposta a vista como função sobre o seu contradomínio reduzido. Essa restrição é sempre sobrejetiva (por construção) e, se é injetiva, essa restrição é também injetiva. Logo \emph{a restrição é bijeção} entre e . - Teorema simples (e importante): bijeções preservam cardinalidade finita. Assim, se
é finito e existe bijeção , então é finito e .
Passo 5
Interpretação lógica: o que podemos e o que não podemos concluir.
- Do exposto segue que
é finito (tem o mesmo número de elementos que ). - Porém
é apenas um subconjunto de . O fato de um subconjunto ser finito NÃO obriga o conjunto maior a ser finito. Então a hipótese não implica necessariamente que seja finito.
Passo 6
Contraexemplo explícito e simples (mostra que a afirmação é falsa).
- Tome
(que é finito) e (que é infinito). - Defina
por e . - Verifique:
logo é injetiva. - Aqui
é finito e é injetiva, mas é infinito. Portanto a afirmação “se é finito e é injetiva então é finito” é falsa.
Passo 7
Observações finais úteis para prova (dica prática).
- O que se pode concluir corretamente: se
é finito e é injetiva então no sentido de que tem um subconjunto (a imagem ) de tamanho . Mas isso não impede de ter infinitos elementos extras. - Se, em vez disso,
fosse sobrejetiva (e finito), aí sim seria finito porque nesse caso.
Resposta
Falso