Verdadeiro ou falso? Justifique. Seja f: A \rightarrow B uma função:
Dada \mathrm{f}: \mathrm{A} \rightarrow \mathrm{B}, se A é finito e f é injetiva então B é finito?

Passo 1

O enunciado nos dá uma função f: A \to B e afirma duas hipóteses:
  • A é um conjunto finito;
  • f é injetiva (ou seja, uma função um‑para‑um).
A pergunta é: a partir disso, sempre segue que B é finito?

Passo 2

Definição e intuição sobre conjunto finito.
  • Dizemos que um conjunto X é finito se existe um número natural n tal que X tem exatamente n elementos. Em notação de bijeção: existe bijeção entre X e o conjunto \{1,2,\dots,n\}.
  • Exemplos: \{1,2\} é finito (tem 2 elementos). O conjunto \mathbb{N} dos naturais é infinito (não existe n que conte todos os elementos).

Passo 3

Definição e intuição sobre injetividade.
  • A função f: A \to B é injetiva se, para quaisquer x,y\in A,
f(x)=f(y)\quad\Rightarrow\quad x=y.
  • Intuitivamente: elementos distintos de A têm imagens distintas em B. Não há “colisões” de imagens.

Passo 4

O que acontece com a imagem f(A).
  • Defina f(A)=\{\,f(a)\mid a\in A\,\}. Por definição, f(A)\subseteq B.
  • A restrição f: A \to f(A) é sobreposta a f vista como função sobre o seu contradomínio reduzido. Essa restrição é sempre sobrejetiva (por construção) e, se f é injetiva, essa restrição é também injetiva. Logo \emph{a restrição é bijeção} entre A e f(A).
  • Teorema simples (e importante): bijeções preservam cardinalidade finita. Assim, se A é finito e existe bijeção A\leftrightarrow f(A), então f(A) é finito e |f(A)|=|A|.

Passo 5

Interpretação lógica: o que podemos e o que não podemos concluir.
  • Do exposto segue que f(A) é finito (tem o mesmo número de elementos que A).
  • Porém f(A) é apenas um subconjunto de B. O fato de um subconjunto ser finito NÃO obriga o conjunto maior a ser finito. Então a hipótese não implica necessariamente que B seja finito.

Passo 6

Contraexemplo explícito e simples (mostra que a afirmação é falsa).
  • Tome A=\{1,2\} (que é finito) e B=\mathbb{N} (que é infinito).
  • Defina f: A\to B por f(1)=1 e f(2)=2.
  • Verifique: f(1)=1\neq2=f(2),logo f é injetiva.
  • Aqui A é finito e f é injetiva, mas B é infinito. Portanto a afirmação “se A é finito e f é injetiva então B é finito” é falsa.

Passo 7

Observações finais úteis para prova (dica prática).
  • O que se pode concluir corretamente: se A é finito e f é injetiva então |B|\ge|A| no sentido de que B tem um subconjunto (a imagem f(A)) de tamanho |A|. Mas isso não impede B de ter infinitos elementos extras.
  • Se, em vez disso, f fosse sobrejetiva (e A finito), aí sim B seria finito porque B=f(A) nesse caso.

Resposta

Falso

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