Mostre que a série \sum_{i=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n} é convergente, mas não é absolutamente convergente.

Passo 1

O enunciado dá a série infinita
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n}
e pede para mostrar duas coisas:
  • que a série é convergente (ou seja, a soma infinita existe, finita);
  • que ela não é absolutamente convergente (isto é, a série dos valores absolutos diverge).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • o termo geral é a_n=\dfrac{(-1)^{n-1}}{n};
  • os valores absolutos dos termos são |a_n|=\dfrac{1}{n}.

Passo 2

Vamos estudar convergência usando um teste útil para séries com sinais alternados. Primeiro enuncio o resultado prático (a seguir dou uma ideia de por que funciona):
Se (b_n)_{n\ge1} é uma sequência tal que
  1. b_n>0 para todo n;
  2. b_{n+1}\le b_n para todo n (ou seja, b_n é não crescente);
  3. \lim_{n\to\infty} b_n = 0,
então a série alternada
\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} b_n
converge.
Explicação didática (por que esse teste funciona). Seja a soma parcial
S_N=\sum_{n=1}^{N}(-1)^{n-1}b_n.
Considere as somas parciais com número par de termos S_{2k} e com número ímpar S_{2k+1}. Observa-se:
  • os termos S_{2k} formam uma sequência que é crescente (cada passo adiciona -b_{2k+1}+b_{2k+2} que é não negativo porque b_{2k+1}\ge b_{2k+2});
  • os termos S_{2k+1} formam uma sequência decrescente;
  • além disso, toda S_{2k} está abaixo de qualquer S_{2m+1} com m\ge k. Logo a sequência dos pares está limitada superiormente e a dos ímpares está limitada inferiormente.
    Essas duas sequências monotônicas e limitadas convergem; chamando seus limites L_{\text{par}} e L_{\text{ímpar}}í, nota-se que a diferença entre S_{2k+1} e S_{2k} é exatamente b_{2k+1}, que tende a 0. Portanto L_{\text{par}}=L_{\text{ímpar}}í e então S_N converge para esse mesmo limite. Assim a série converge.
Também é útil a estimativa do resto: se S é a soma e S_N a soma parcial, então
|S-S_N|\le b_{N+1},
ou seja, o erro ao truncar após N termos é no máximo o próximo termo da sequência b_n.

Passo 3

Aplicando o teste ao nosso caso: escolha b_n=\dfrac{1}{n}.
Verificações das hipóteses:
  1. b_n=\dfrac{1}{n}>0 para todo n\ge1.
  2. b_{n+1}=\dfrac{1}{n+1}\le \dfrac{1}{n}=b_n para todo n (pois n+1>n).
  3. \displaystyle \lim_{n\to\infty} b_n=\lim_{n\to\infty}\dfrac{1}{n}=0.
Portanto as três condições do teste estão satisfeitas. Conclusão: a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n}
converge. (Dica prática para prova: pode mencionar a estimativa do resto |S-S_N|\le 1/(N+1)| para controlar o erro.)

Passo 4

Agora vamos verificar se a série é absolutamente convergente. Por definição, a série é absolutamente convergente se a série dos módulos converge:
\sum_{n=1}^{\infty} |a_n| = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}.
A série \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n} é a famosa série harmônica, e ela diverge. Vou dar uma prova clássica simples por agrupamento:
Considere as somas parciais em potências de 2:
\sum_{n=1}^{2^k} \frac{1}{n} = 1 + \frac{1}{2} + \left(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\right) + \left(\frac{1}{5}+\cdots+\frac{1}{8}\right) + \cdots + \left(\frac{1}{2^{k-1}+1}+\cdots+\frac{1}{2^k}\right).
Em cada grupo do tipo \left(\frac{1}{2^{m-1}+1}+\cdots+\frac{1}{2^m}\right) 2^{m-1} termos, e cada um desses termos é ao menos \dfrac{1}{2^m}. Logo o somatório desse grupo é ao menos
2^{m-1}\cdot \frac{1}{2^m}=\frac{1}{2}.
Somando os grupos até m=k obtemos
\sum_{n=1}^{2^k} \frac{1}{n} \ge 1 + \frac{1}{2} + \underbrace{\frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{2}}_{k-1\\ \text{vezes}} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{k-1}{2} = \frac{k+1}{2}.
Como k pode crescer sem limite, as somas parciais \sum_{n=1}^{2^k} 1/n crescem sem limite; portanto a série harmônica diverge.

Passo 5

Como a soma dos módulos diverge, ou seja,
\sum_{n=1}^{\infty} |a_n| = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} = +\infty,
a série original não é absolutamente convergente.
Concisão final: a série converge (por se tratar de uma série alternada com termos decrescentes em módulo que tendem a zero) mas não converge absolutamente (porque a série dos módulos é a série harmônica, que diverge). Em termos comuns: a série é condicionalmente convergente.

Resposta

A série converge, mas não é absolutamente convergente.

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