Mostre que a série \sum_{i=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n} é convergente, mas não é absolutamente convergente.
Passo 1
O enunciado dá a série infinita
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n}
e pede para mostrar duas coisas:
que a série é convergente (ou seja, a soma infinita existe, finita);
que ela não é absolutamente convergente (isto é, a série dos valores absolutos diverge).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
o termo geral é a_n=\dfrac{(-1)^{n-1}}{n};
os valores absolutos dos termos são |a_n|=\dfrac{1}{n}.
Passo 2
Vamos estudar convergência usando um teste útil para séries com sinais alternados. Primeiro enuncio o resultado prático (a seguir dou uma ideia de por que funciona):
Se (b_n)_{n\ge1} é uma sequência tal que
b_n>0 para todo n;
b_{n+1}\le b_n para todo n (ou seja, b_n é não crescente);
\lim_{n\to\infty} b_n = 0,
então a série alternada
\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} b_n
converge.
Explicação didática (por que esse teste funciona). Seja a soma parcial
S_N=\sum_{n=1}^{N}(-1)^{n-1}b_n.
Considere as somas parciais com número par de termos S_{2k} e com número ímpar S_{2k+1}. Observa-se:
os termos S_{2k} formam uma sequência que é crescente (cada passo adiciona -b_{2k+1}+b_{2k+2} que é não negativo porque b_{2k+1}\ge b_{2k+2});
os termos S_{2k+1} formam uma sequência decrescente;
além disso, toda S_{2k} está abaixo de qualquer S_{2m+1} com m\ge k. Logo a sequência dos pares está limitada superiormente e a dos ímpares está limitada inferiormente.
Essas duas sequências monotônicas e limitadas convergem; chamando seus limites L_{\text{par}} e L_{\text{ímpar}}, nota-se que a diferença entre S_{2k+1} e S_{2k} é exatamente b_{2k+1}, que tende a 0. Portanto L_{\text{par}}=L_{\text{ímpar}} e então S_N converge para esse mesmo limite. Assim a série converge.
Também é útil a estimativa do resto: se S é a soma e S_N a soma parcial, então
|S-S_N|\le b_{N+1},
ou seja, o erro ao truncar após N termos é no máximo o próximo termo da sequência b_n.
Passo 3
Aplicando o teste ao nosso caso: escolha b_n=\dfrac{1}{n}.
Verificações das hipóteses:
b_n=\dfrac{1}{n}>0 para todo n\ge1.
b_{n+1}=\dfrac{1}{n+1}\le \dfrac{1}{n}=b_n para todo n (pois n+1>n).
Em cada grupo do tipo \left(\frac{1}{2^{m-1}+1}+\cdots+\frac{1}{2^m}\right) há 2^{m-1} termos, e cada um desses termos é ao menos \dfrac{1}{2^m}. Logo o somatório desse grupo é ao menos
Concisão final: a série converge (por se tratar de uma série alternada com termos decrescentes em módulo que tendem a zero) mas não converge absolutamente (porque a série dos módulos é a série harmônica, que diverge). Em termos comuns: a série é condicionalmente convergente.
Resposta
A série converge, mas não é absolutamente convergente.