Esboce o gráfico de a_{n}=\frac{1}{n}

Passo 1

O enunciado dá a sequência \,a_{n}=\dfrac{1}{n}\, e pede que você esboce o gráfico. Informações dadas e o que é pedido:
  • Fórmula da sequência: \,a_{n}=\dfrac{1}{n}\,.
  • Domínio implícito: n\in\mathbb{N}=\{1,2,3,\dots\}.
  • O pedido: desenhar (esboçar) o gráfico da sequência — ou seja, os pontos (n,a_n) no plano.

Passo 2

Como preparar o papel e os eixos (o básico para um esboço claro).
  • Eixo horizontal: coloque n (índice), marque os inteiros 1,2,3,4,5,\dots.
  • Eixo vertical: coloque a_n, escolha marcações que incluam 1,0,5,0,25,0,1 etc.
  • Lembre-se: trata-se de uma sequência discreta — só se desenham pontos em x inteiros, não uma curva contínua (a curva pode ser usada como guia).

Passo 3

Calcule alguns valores iniciais para ter pontos concretos para plotar.
  • \,a_{1}=\dfrac{1}{1}=1\,.
  • \,a_{2}=\dfrac{1}{2}=0,5\,.
  • \,a_{3}=\dfrac{1}{3}\approx0,333\ldots\,.
  • \,a_{4}=\dfrac{1}{4}=0,25\,.
  • \,a_{5}=\dfrac{1}{5}=0,2\,.
  • Também útil: \,a_{10}=\dfrac{1}{10}=0,1, \,a_{20}=\dfrac{1}{20}=0,05.
    Com isso você já tem pontos (1,1),(2,0,5),(3,0,333\ldots),\dots a colocar no gráfico.

Passo 4

Mostre que a sequência é decrescente (isso ajuda no esboço: os pontos vão descendo).
  • Compare termos consecutivos:
a_n-a_{n+1}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}=\frac{(n+1)-n}{n(n+1)}=\frac{1}{n(n+1)}>0
para todo n\ge1.
  • Conclusão: \,a_{n+1}<a_n\, para todo n, ou seja, a sequência é estritamente decrescente.

Passo 5

Mostre que os pontos se aproximam de zero (isso indica uma assíntota horizontal em y=0).
  • Enunciado formal do limite: \displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0.
  • Prova rápida estilo épsilon: dado \varepsilon>0, escolha N tal que N>\dfrac{1}{\varepsilon}. Então, para todo n\ge N vale
0<\frac{1}{n}\le\frac{1}{N}<\varepsilon.
  • Logo os termos ficam arbitrariamente próximos de 0 quando n cresce. Conclusão: a reta y=0 é assíntota horizontal do conjunto de pontos da sequência (os pontos tendem a ela).

Passo 6

O que desenhar exatamente (passo a passo no papel).
  • Desenhe os eixos e marque inteiros no eixo x (a partir de 1).
  • No eixo y marque 1,0,5,0,33,0,25,0,2,0 (ou marcas aproximadas).
  • Plote pontos fechados em: (1,1),\\ (2,0{,}5),\\ (3,0{,}333\ldots),\\ (4,0{,}25),\\ (5,0{,}2),\\ \dots
  • Opcional: desenhe uma curva suave y=\dfrac{1}{x} como guia visual — mas destaque que a sequência são apenas os pontos nos x inteiros, não a curva contínua.

Passo 7

Dicas práticas de escala e visualização para o esboço de prova/controle:
  • Para mostrar o decaimento rápido no início, reserve espaço vertical até y=1.
  • Depois de n\approx10 os pontos estão perto de zero; comprima a escala em y para mostrar isso claramente.
  • Não coloque ponto em x=0 porque n começa em 1. Se desenhar o eixo y imaginário em x=0, observe que \dfrac{1}{0} não existe — não desenhe um ponto ali.

Passo 8

Resumo visual (o que você deve ver no esboço final)
  • Pontos isolados em x inteiros decrescentes: cada ponto está abaixo do anterior.
  • Os pontos se aproximam do eixo y=0 conforme n cresce.
  • A curva contínua y=\dfrac{1}{x} passa pelos mesmos valores nos inteiros e pode ser desenhada como referência.

Passo 9

Encorajamento e verificação rápida
  • Se quiser checar: plote os primeiros 10 pontos; verá claramente que em n=1 é 1, em n=10 já é 0{,}1. Isso comprova o comportamento que você desenhou.
  • Vai dar certo — é um dos esboços mais simples e importantes para entender limites de sequências.

Resposta

Pontos (n,\tfrac{1}{n}) para n\in\mathbb{N}: sequência de pontos isolados decrescente \big(1,1\big),(2,0{,}5),(3,0{,}333\ldots),\dots que tende a 0; a reta y=0 é assíntota horizontal.

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