Esboce o gráfico de
Passo 1
O enunciado dá a sequência
e pede que você esboce o gráfico. Informações dadas e o que é pedido:
- Fórmula da sequência:
. - Domínio implícito:
. - O pedido: desenhar (esboçar) o gráfico da sequência — ou seja, os pontos
no plano.
Passo 2
Como preparar o papel e os eixos (o básico para um esboço claro).
- Eixo horizontal: coloque
(índice), marque os inteiros . - Eixo vertical: coloque
, escolha marcações que incluam etc. - Lembre-se: trata-se de uma sequência discreta — só se desenham pontos em
inteiros, não uma curva contínua (a curva pode ser usada como guia).
Passo 3
Calcule alguns valores iniciais para ter pontos concretos para plotar.
-
. -
. -
. -
. -
. - Também útil:
, .
Com isso você já tem pontosa colocar no gráfico.
Passo 4
Mostre que a sequência é decrescente (isso ajuda no esboço: os pontos vão descendo).
- Compare termos consecutivos:
para todo
.
- Conclusão:
para todo , ou seja, a sequência é estritamente decrescente.
Passo 5
Mostre que os pontos se aproximam de zero (isso indica uma assíntota horizontal em
).
- Enunciado formal do limite:
. - Prova rápida estilo épsilon: dado
, escolha tal que . Então, para todo vale
- Logo os termos ficam arbitrariamente próximos de
quando cresce. Conclusão: a reta é assíntota horizontal do conjunto de pontos da sequência (os pontos tendem a ela).
Passo 6
O que desenhar exatamente (passo a passo no papel).
- Desenhe os eixos e marque inteiros no eixo
(a partir de ). - No eixo
marque (ou marcas aproximadas). - Plote pontos fechados em:
- Opcional: desenhe uma curva suave
como guia visual — mas destaque que a sequência são apenas os pontos nos inteiros, não a curva contínua.
Passo 7
Dicas práticas de escala e visualização para o esboço de prova/controle:
- Para mostrar o decaimento rápido no início, reserve espaço vertical até
. - Depois de
os pontos estão perto de zero; comprima a escala em para mostrar isso claramente. - Não coloque ponto em
porque começa em . Se desenhar o eixo imaginário em , observe que não existe — não desenhe um ponto ali.
Passo 8
Resumo visual (o que você deve ver no esboço final)
- Pontos isolados em
inteiros decrescentes: cada ponto está abaixo do anterior. - Os pontos se aproximam do eixo
conforme cresce. - A curva contínua
passa pelos mesmos valores nos inteiros e pode ser desenhada como referência.
Passo 9
Encorajamento e verificação rápida
- Se quiser checar: plote os primeiros 10 pontos; verá claramente que em
é , em já é . Isso comprova o comportamento que você desenhou. - Vai dar certo — é um dos esboços mais simples e importantes para entender limites de sequências.
Resposta
Pontos
para
: sequência de pontos isolados decrescente
que tende a
; a reta
é assíntota horizontal.