Calcule \lim \frac{\sqrt{n}}{n}

Passo 1

Vamos identificar claramente o que o enunciado pede e quais informações temos. O enunciado é a sequência
\frac{\sqrt{n}}{n}
e a tarefa é calcular o limite dessa expressão quando n cresce sem limite (isto é, quando n\to\infty). Então a pergunta é: qual é
\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{n}}{n}\, ?

Passo 2

Reescrever a expressão de forma mais simples para ver o comportamento em n. Use a propriedade das potências: \sqrt{n}=n^{1/2} e n=n^{1}. Assim
\frac{\sqrt{n}}{n}=\frac{n^{1/2}}{n^{1}}=n^{1/2-1}=n^{-1/2}.
Outra forma equivalente, mais intuitiva, é
\frac{\sqrt{n}}{n}=\frac{1}{\sqrt{n}}.
Essas duas formas deixam claro que conforme n aumenta o denominador \sqrt{n} também aumenta.

Passo 3

Argumento por desigualdade (squeeze/simple bound). Para n\ge 1 vale
0\le \frac{1}{\sqrt{n}}\le 1.
Como \frac{1}{\sqrt{n}} é uma sequência não negativa que decresce para 0 (o denominador cresce sem limite), isso já sugere que o limite é 0. Para formalizar: a sequência está presa entre 0 e um número que tende a 0 (nesse caso usamos a observação direta de que \frac{1}{\sqrt{n}}\to0), logo o limite é 0.

Passo 4

Prova \varepsilon- N rápida e direta (para ficar totalmente rigoroso). Dado \varepsilon>0, queremos escolher N tal que para todo n\ge N tenha
\left|\frac{\sqrt{n}}{n}-0\right|<\varepsilon.
Usando a forma \frac{\sqrt{n}}{n}=\frac{1}{\sqrt{n}}, isso é
\frac{1}{\sqrt{n}}<\varepsilon.
Isto equivale a \sqrt{n}>\frac{1}{\varepsilon}, ou seja n>\frac{1}{\varepsilon^{2}}. Portanto basta escolher
N=\left\lceil\frac{1}{\varepsilon^{2}}\right\rceil.
Com esse N, para todo n\ge N tem \frac{1}{\sqrt{n}}<\varepsilon. Isso mostra rigorosamente que
\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{n}}{n}=0.

Passo 5

Intuição e exemplos numéricos rápidos para fixar a ideia: a raiz cresce muito mais devagar que a própria n. Por exemplo,
\frac{\sqrt{100}}{100}=\frac{10}{100}=0{,}1,\qquad \frac{\sqrt{10000}}{10000}=\frac{100}{10000}=0{,}01.
Vê-se que, à medida que n fica grande, o valor vai ficando cada vez mais próximo de 0.

Resposta

\;0

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