Essas duas formas deixam claro que conforme n aumenta o denominador \sqrt{n} também aumenta.
Passo 3
Argumento por desigualdade (squeeze/simple bound). Para n\ge 1 vale
0\le \frac{1}{\sqrt{n}}\le 1.
Como \frac{1}{\sqrt{n}} é uma sequência não negativa que decresce para 0 (o denominador cresce sem limite), isso já sugere que o limite é 0. Para formalizar: a sequência está presa entre 0 e um número que tende a 0 (nesse caso usamos a observação direta de que \frac{1}{\sqrt{n}}\to0), logo o limite é 0.
Passo 4
Prova \varepsilon-N rápida e direta (para ficar totalmente rigoroso). Dado \varepsilon>0, queremos escolher N tal que para todo n\ge N tenha
\left|\frac{\sqrt{n}}{n}-0\right|<\varepsilon.
Usando a forma \frac{\sqrt{n}}{n}=\frac{1}{\sqrt{n}}, isso é
\frac{1}{\sqrt{n}}<\varepsilon.
Isto equivale a \sqrt{n}>\frac{1}{\varepsilon}, ou seja n>\frac{1}{\varepsilon^{2}}. Portanto basta escolher