Calcule lim \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite quando n tende ao infinito da sequência
\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}.
Informações relevantes dadas:
  • A variável que cresce é n, que é um inteiro positivo e n\to\infty.
  • O que se quer é o limite da sequência \left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{n} quando n cresce sem limite.

Passo 2

Vamos definir a sequência que aparece no limite para trabalhar com símbolos simples. Seja
a_n = \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}.
O objetivo é calcular \displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n.

Passo 3

Estratégia: é mais fácil trabalhar com o logaritmo natural porque ele transforma potência em produto. Assim, se conseguirmos o limite de \ln a_n, podemos recuperar o limite de a_n exponenciando. Primeiro transformamos:
\ln a_n = \ln\!\left( \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n} \right) = n\ln\!\left(1+\frac{1}{n}\right).
Expliquei: usei a propriedade \ln(x^y)=y\ln x. Aqui x=1+\dfrac{1}{n} e y=n.

Passo 4

Reescrevemos \ln a_n de forma conveniente. Colocando x=\dfrac{1}{n} (então x\to0^+ quando n\to\infty), obtemos
\ln a_n = \frac{\ln(1+x)}{x}\quad\text{com}\quad x=\frac{1}{n}.
Portanto calcular \displaystyle\lim_{n\to\infty}\ln a_n é equivalente a calcular \displaystyle\lim_{x\to 0^+}\frac{\ln(1+x)}{x}.

Passo 5

Vamos achar \displaystyle\lim_{x\to 0^+}\frac{\ln(1+x)}{x}. Para isso usamos desigualdades que “apertam” a função \dfrac{\ln(1+x)}{x} entre duas que têm o mesmo limite em 0.
Primeira desigualdade (fácil): para todo x>-1 vale
\ln(1+x) \le x.
Justificativa rápida e intuitiva: a reta y=x é tangente a \ln(1+x) em x=0 e a curva \ln(1+x) fica abaixo dessa reta para x>0. Dividindo por x>0 obtemos
\frac{\ln(1+x)}{x} \le 1 \quad\text{para } x>0.

Passo 6

Segunda desigualdade (inferior): para x\ge0 vale
\ln(1+x) \ge \frac{x}{1+x}.
Prova curta: considere a função g(x)=\ln(1+x)-\dfrac{x}{1+x}. Calcula-se a derivada
g'(x)=\frac{1}{1+x}-\frac{1}{(1+x)^2}=\frac{x}{(1+x)^2}\ge0\quad\text{para }x\ge0,
e como g(0)=0, segue que g(x)\ge0 para x\ge0, isto é, a desigualdade acima é verdadeira. Dividindo por x>0 obtemos
\frac{\ln(1+x)}{x} \ge \frac{1}{1+x}\quad\text{para }x>0.

Passo 7

Agora juntamos as duas desigualdades obtidas nos Passos 5 e 6. Para x>0 temos
\frac{1}{1+x} \le \frac{\ln(1+x)}{x} \le 1.
Ao fazer x\to0^+, as duas extremas convergem para 1, pois
\lim_{x\to0^+}\frac{1}{1+x}=1\qquad\text{e}\qquad\lim_{x\to0^+}1=1.
Pelo Teorema do Confronto (squeeze theorem), conclui-se que
\lim_{x\to0^+}\frac{\ln(1+x)}{x}=1.

Passo 8

Voltando à sequência original: como x=\dfrac{1}{n}, temos mostrado que
\lim_{n\to\infty}\ln a_n = 1.
Agora aplicamos a função exponencial (contínua) para recuperar a_n:
\lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty} e^{\ln a_n} = e^{\lim_{n\to\infty}\ln a_n} = e^{1}=e.
Observação amigável: aqui e é a base dos logaritmos naturais, aproximadamente \,2{,}7182818\ldots.

Resposta

e

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