Calcule lim
Passo 1
O enunciado pede o valor do limite quando
tende ao infinito da sequência
Informações relevantes dadas:
- A variável que cresce é
, que é um inteiro positivo e . - O que se quer é o limite da sequência
quando cresce sem limite.
Passo 2
Vamos definir a sequência que aparece no limite para trabalhar com símbolos simples. Seja
O objetivo é calcular
.
Passo 3
Estratégia: é mais fácil trabalhar com o logaritmo natural porque ele transforma potência em produto. Assim, se conseguirmos o limite de
, podemos recuperar o limite de
exponenciando. Primeiro transformamos:
Expliquei: usei a propriedade
. Aqui
e
.
Passo 4
Reescrevemos
de forma conveniente. Colocando
(então
quando
), obtemos
Portanto calcular
é equivalente a calcular
.
Passo 5
Vamos achar
. Para isso usamos desigualdades que “apertam” a função
entre duas que têm o mesmo limite em
.
Primeira desigualdade (fácil): para todo
vale
Justificativa rápida e intuitiva: a reta
é tangente a
em
e a curva
fica abaixo dessa reta para
. Dividindo por
obtemos
Passo 6
Segunda desigualdade (inferior): para
vale
Prova curta: considere a função
. Calcula-se a derivada
e como
, segue que
para
, isto é, a desigualdade acima é verdadeira. Dividindo por
obtemos
Passo 7
Agora juntamos as duas desigualdades obtidas nos Passos 5 e 6. Para
temos
Ao fazer
, as duas extremas convergem para
, pois
Pelo Teorema do Confronto (squeeze theorem), conclui-se que
Passo 8
Voltando à sequência original: como
, temos mostrado que
Agora aplicamos a função exponencial (contínua) para recuperar
:
Observação amigável: aqui
é a base dos logaritmos naturais, aproximadamente
.