Calcule \lim \frac{2 n^{2}+3 n}{n^{2}}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que ele dá. O enunciado é calcular
\lim \frac{2 n^{2}+3 n}{n^{2}}.
Como o ponto de passagem não foi especificado, vou assumir a interpretação padrão nesse tipo de exercício: calcular
\lim_{n\to\infty}\frac{2n^{2}+3n}{n^{2}}.
A informação relevante é a expressão racional \dfrac{2n^{2}+3n}{n^{2}}.

Passo 2

Transformar a expressão para ver claramente o comportamento quando n\to\infty. Uma técnica padrão é dividir numerador e denominador pela maior potência de n presente (aqui é n^{2}). Faço isso assim:
\frac{2n^{2}+3n}{n^{2}}=\frac{n^{2}\!\left(2+\dfrac{3}{n}\right)}{n^{2}}=2+\frac{3}{n}.
Explicando: ao dividir cada termo do numerador por n^{2} obtemos \dfrac{2n^{2}}{n^{2}}=2 e \dfrac{3n}{n^{2}}=\dfrac{3}{n}. O denominador vira 1.

Passo 3

Estudar o termo \dfrac{3}{n} quando n\to\infty. Há um fato básico que uso aqui: \dfrac{1}{n}\to 0 quando n\to\infty. Intuição e pequena justificativa: à medida que n cresce sem limite, 1/n fica cada vez menor; formalmente, dado \varepsilon>0 basta escolher N>\dfrac{1}{\varepsilon} para que, para todo n\ge N, 1/n<\varepsilon. Multiplicando por 3 obtemos \dfrac{3}{n}\to 0.

Passo 4

Aplicar as propriedades de limite (a soma de um constante com uma sequência que tende a zero tende para a constante). Como a expressão virou 2+\dfrac{3}{n} e já sabemos que \dfrac{3}{n}\to 0, concluímos
\lim_{n\to\infty}\left(2+\frac{3}{n}\right)=2+0=2.

Passo 5

Comentário didático rápido (truque geral): para razões de polinômios em n, se os graus do numerador e do denominador são iguais, o limite quando n\to\infty é a razão dos coeficientes dos termos de maior grau. Aqui ambos têm grau 2 e os coeficientes são 2 (numerador) e 1 (denominador), dando 2/1=2. Exemplo: \lim_{n\to\infty}\dfrac{5n^{3}+1}{2n^{3}-7}=\dfrac{5}{2}.

Resposta

\;2

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