Observação prática: funções polinomiais (expressões feitas por somas e produtos de potências) são contínuas; isso significa que podemos obter o limite avaliando a expressão no ponto h=0 quando a variável é h. Aqui a expressão vista como função de h (com x fixo) é polinomial em h.
Passo 3
Separe a soma em dois limites usando a regra da soma:
\lim_{h\to 0}\left(x^{2}+3 x h\right)=\lim_{h\to 0}x^{2}+\lim_{h\to 0}3 x h.
Passo 4
Calcule o primeiro limite \lim_{h\to 0}x^{2}.
Como x^{2} não depende de h, é uma constante em relação a h. O limite de uma constante é a própria constante. Logo
\lim_{h\to 0}x^{2}=x^{2}.
Passo 5
Calcule o segundo limite \lim_{h\to 0}3 x h.
Podemos ver 3x como constante (porque não depende de h). Aplicando a regra do produto por constante:
\lim_{h\to 0}3 x h = 3x\cdot\lim_{h\to 0}h.
E \lim_{h\to 0}h=0. Portanto
\lim_{h\to 0}3 x h = 3x\cdot 0 = 0.
Passo 6
Junte os resultados:
\lim_{h\to 0}\left(x^{2}+3 x h\right)=\underbrace{x^{2}}_{\text{do Passo 4}}+\underbrace{0}_{\text{do Passo 5}}=x^{2}.
Intuição rápida: quando h fica muito pequeno, o termo 3xh fica desprezível (vai a zero) e sobra x^{2}.