Calcule.
\lim _{h \rightarrow 0}\left(x^{2}+3 x h\right)

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{h\to 0}\left(x^{2}+3 x h\right).
Informações dadas e coisas importantes para notar:
  • A variável que tende a zero é h. Ou seja, o limite é tomado em relação a h.
  • A letra x aparece na expressão, mas não se diz que x depende de h. Portanto, tratamos x como um parâmetro fixo (uma constante) enquanto h varia.
  • A expressão é uma soma de duas parcelas: \,x^{2}\, e \,3 x h\,.

Passo 2

Conceito e ferramenta que vamos usar (explicado de forma simples).
  • Regra de soma de limites: se existem \lim_{h\to 0} f(h) e \lim_{h\to 0} g(h), então
\lim_{h\to 0}\big(f(h)+g(h)\big)=\lim_{h\to 0}f(h)+\lim_{h\to 0}g(h).
  • Regra do produto por constante: se c é constante e \lim_{h\to 0} g(h) existe, então
\lim_{h\to 0} \big(c\cdot g(h)\big)=c\cdot\lim_{h\to 0}g(h).
  • Observação prática: funções polinomiais (expressões feitas por somas e produtos de potências) são contínuas; isso significa que podemos obter o limite avaliando a expressão no ponto h=0 quando a variável é h. Aqui a expressão vista como função de h (com x fixo) é polinomial em h.

Passo 3

Separe a soma em dois limites usando a regra da soma:
\lim_{h\to 0}\left(x^{2}+3 x h\right)=\lim_{h\to 0}x^{2}+\lim_{h\to 0}3 x h.

Passo 4

Calcule o primeiro limite \lim_{h\to 0}x^{2}.
  • Como x^{2} não depende de h, é uma constante em relação a h. O limite de uma constante é a própria constante. Logo
\lim_{h\to 0}x^{2}=x^{2}.

Passo 5

Calcule o segundo limite \lim_{h\to 0}3 x h.
  • Podemos ver 3x como constante (porque não depende de h). Aplicando a regra do produto por constante:
\lim_{h\to 0}3 x h = 3x\cdot\lim_{h\to 0}h.
  • E \lim_{h\to 0}h=0. Portanto
\lim_{h\to 0}3 x h = 3x\cdot 0 = 0.

Passo 6

Junte os resultados:
\lim_{h\to 0}\left(x^{2}+3 x h\right)=\underbrace{x^{2}}_{\text{do Passo 4}}+\underbrace{0}_{\text{do Passo 5}}=x^{2}.
Intuição rápida: quando h fica muito pequeno, o termo 3xh fica desprezível (vai a zero) e sobra x^{2}.

Resposta

x^{2}

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