Use a calculadora para fazer as seguintes contas de multiplicação por 11: 13 \times 11,24 \times 11, 35 \times 11. Observe que há um padrão nos resultados.
a) Descreva o padrão observado.
b) Explique o padrão, com base no algoritmo da multiplicação.
c) Este padrão vale para qualquer multiplicação de um número de dois algarismos por 11? Justifique sua resposta.
d) O que acontece se multiplicarmos um número com mais de dois algarismos por 11 ? Também observamos algum tipo de padrão? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule 13\times11, 24\times11 e 35\times11, observe um padrão nos resultados e responda quatro itens:
a) Descrever o padrão observado.
b) Explicar o padrão com base no algoritmo da multiplicação.
c) Dizer se o padrão vale para qualquer multiplicação de um número de dois algarismos por 11 e justificar.
d) Dizer o que acontece se multiplicarmos um número com mais de dois algarismos por 11 — existe algum padrão? justificar.
Dados relevantes: os três produtos solicitados e a observação de que “há um padrão” a ser descrito e explicado.

Passo 2

Faço as contas pedidas (uso a identidade 11=10+1, ou seja 11\cdot n = 10n + n, que é uma maneira prática de calcular):
13\times11 = 10\cdot13 + 13 = 130 + 13 = 143.
24\times11 = 10\cdot24 + 24 = 240 + 24 = 264.
35\times11 = 10\cdot35 + 35 = 350 + 35 = 385.
Então os resultados são 143, 264 e 385.

Passo 3

Observar o padrão nos resultados calculados:
  • Para 13 (que tem algarismos 1 e 3) o produto 13\times11=143. Note que 143 tem os dígitos 1,\;4,\;3 e 4=1+3.
  • Para 24 (algarismos 2 e 4) o produto 24\times11=264. Aqui 264 tem 2,\;6,\;4 e 6=2+4.
  • Para 35 (algarismos 3 e 5) o produto 35\times11=385. Aqui 385 tem 3,\;8,\;5 e 8=3+5.
Padrão observado (informal): ao multiplicar um número de dois algarismos ab por 11 o resultado costuma formar os dígitos a,(a+b), b — isto é, o algarismo do meio é a soma dos dois algarismos originais.

Passo 4

Explicação algébrica do padrão (baseada no algoritmo da multiplicação):
  • Seja um número de dois algarismos escrito como (10a + b), onde a é o algarismo das dezenas e b o das unidades (ambos entre 0 e 9, e a\neq0).
  • Multiplicando por 11:
11(10a+b) = (10+1)(10a+b) = 100a + 10(a+b) + b.
  • A expressão \,100a + 10(a+b) + b\; corresponde exatamente a um número cujos dígitos são a, depois a+b (na casa das dezenas) e depois b. Ou seja, na forma decimal isso dá o trio de dígitos a,\;a+b,\;b.
Observação sobre “carry” (vai um): a fórmula funciona diretamente quando a+b<10 porque então a+b cabe numa única casa decimal. Se a+b\ge 10, a soma ocupa duas casas e produz um transporte (carry) para a casa das centenas — por isso o resultado final precisa ajustar o dígito da esquerda. Exemplo rápido: 95\times11. Aqui a=9, b=5, a+b=14. Aplicando a regra: começa-se com 9, coloca-se 4 no meio e 5 no final, e adiciona-se o carry 1 à esquerda: o produto fica 1045. Verificação: 95\times11=1045.

Passo 5

Resposta ao item (c): o padrão vale para qualquer número de dois algarismos, com a ressalva do carry.
  • Justificativa: a dedução algébrica acima foi geral para 10a+b; portanto o resultado sempre aparece como 100a + 10(a+b) + b.
  • Quando a+b<10 o dígito do meio é simplesmente a+b. Quando a+b\ge10 devemos colocar a unidade de a+b na posição do meio e somar a dezena de a+b como carry ao dígito a (à esquerda). Isso é exatamente o ajuste que o algoritmo de soma faz. Então o “padrão” (colocar a soma dos dois dígitos entre os dígitos originais) é válido, desde que lembremos de tratar o caso do transporte quando a soma é dupla.

Passo 6

Resposta ao item (d): o padrão se estende, com uma regra natural, para números com mais de dois algarismos — há um padrão: cada dígito (exceto os extremos) do produto é a soma de dois dígitos adjacentes do número original, com carries quando necessário.
  • Explicação prática (algoritmo): para um número com dígitos d_k d_{k-1}\dots d_2 d_1 (onde d_k é o dígito mais à esquerda), o produto por 11 pode ser obtido assim:
    1. Escreve-se d_k como primeiro dígito do resultado.
    2. Para cada posição interna, escrevemos d_i + d_{i-1} (soma dos dígitos adjacentes) como o próximo dígito; se a soma for \ge 10 colocamos a unidade e propagamos o carry para a esquerda.
    3. Escreve-se d_1 como último dígito do resultado.
  • Exemplos:
    • 123\times11: escrevo 1, depois 1+2=3, depois 2+3=5, por fim 3. Resultado 1353. Verificação: 123\times11=1353.
    • 594\times11: calculemos com cuidado dos carries: 5, depois 5+9=14 → escrever 4 e transportar 1, depois 9+4=13 → escrever 3 e transportar 1 (mas já houve carry anterior que se soma), por fim 4. Fazendo a propagação correta obtemos 6534. Verificação: 594\times11=6534.
  • Em termos algébricos isto vem do fato geral 11\cdot n = n + 10n: somar o número a ele mesmo deslocado uma casa (multiplicado por 10) tem o efeito de somar pares de dígitos adjacentes nas posições intermediárias.

Passo 7

Resumo operativo que você pode usar na prova (passo a passo fácil):
  • Para um número de dois algarismos ab: calcule a+b. Se a+b<10, resultado é a\,(a+b)\,b. Se a+b\ge10, coloque a unidade de a+b no meio e some a dezena de a+b ao a (carry).
  • Para números maiores: escreva o primeiro dígito, depois coloque sucessivamente as somas de cada par de dígitos adjacentes (tratando carries da direita para a esquerda), e termine com o último dígito. É rápido e evita multiplicações longas.

Resposta

a) Para um número de dois algarismos ab, ab\times11 forma tipicamente os dígitos a,\;a+b,\;b; isto é, o dígito do meio é a soma dos dois dígitos originais (com ajuste por carry se a+b\ge10).
b) Porque 11(10a+b)=100a+10(a+b)+b; algebraicamente isso gera os dígitos a,\;a+b,\;b, e quando a+b\ge10 a dezena de a+b vira carry para a esquerda (mesmo procedimento do algoritmo da multiplicação/soma).
c) Sim, vale para qualquer número de dois algarismos; a fórmula é geral, mas é preciso tratar o caso a+b\ge10 fazendo o carry (ex.: 95\times11=1045).
d) Sim, há um padrão análogo: ao multiplicar por 11 cada dígito interno do resultado é a soma dos dois dígitos adjacentes do número original (com propagação de carries quando as somas excedem 9); exemplo: 1234\times11=13574 e 594\times11=6534.

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