Use a calculadora para fazer as seguintes contas de multiplicação por 11:
,
. Observe que há um padrão nos resultados.
a) Descreva o padrão observado.
b) Explique o padrão, com base no algoritmo da multiplicação.
c) Este padrão vale para qualquer multiplicação de um número de dois algarismos por 11? Justifique sua resposta.
d) O que acontece se multiplicarmos um número com mais de dois algarismos por 11 ? Também observamos algum tipo de padrão? Justifique sua resposta.
a) Descreva o padrão observado.
b) Explique o padrão, com base no algoritmo da multiplicação.
c) Este padrão vale para qualquer multiplicação de um número de dois algarismos por 11? Justifique sua resposta.
d) O que acontece se multiplicarmos um número com mais de dois algarismos por 11 ? Também observamos algum tipo de padrão? Justifique sua resposta.
Passo 1
O enunciado pede que eu calcule
,
e
, observe um padrão nos resultados e responda quatro itens:
a) Descrever o padrão observado.
b) Explicar o padrão com base no algoritmo da multiplicação.
c) Dizer se o padrão vale para qualquer multiplicação de um número de dois algarismos por e justificar.
d) Dizer o que acontece se multiplicarmos um número com mais de dois algarismos por — existe algum padrão? justificar.
Dados relevantes: os três produtos solicitados e a observação de que “há um padrão” a ser descrito e explicado.
a) Descrever o padrão observado.
b) Explicar o padrão com base no algoritmo da multiplicação.
c) Dizer se o padrão vale para qualquer multiplicação de um número de dois algarismos por
d) Dizer o que acontece se multiplicarmos um número com mais de dois algarismos por
Dados relevantes: os três produtos solicitados e a observação de que “há um padrão” a ser descrito e explicado.
Passo 2
Faço as contas pedidas (uso a identidade
, ou seja
, que é uma maneira prática de calcular):
Então os resultados são
,
e
.
Passo 3
Observar o padrão nos resultados calculados:
- Para
(que tem algarismos e ) o produto . Note que tem os dígitos e . - Para
(algarismos e ) o produto . Aqui tem e . - Para
(algarismos e ) o produto . Aqui tem e .
Padrão observado (informal): ao multiplicar um número de dois algarismos
por
o resultado costuma formar os dígitos
,(a+b),
— isto é, o algarismo do meio é a soma dos dois algarismos originais.
Passo 4
Explicação algébrica do padrão (baseada no algoritmo da multiplicação):
- Seja um número de dois algarismos escrito como
, onde é o algarismo das dezenas e o das unidades (ambos entre e , e ). - Multiplicando por
:
- A expressão
corresponde exatamente a um número cujos dígitos são , depois (na casa das dezenas) e depois . Ou seja, na forma decimal isso dá o trio de dígitos .
Observação sobre “carry” (vai um): a fórmula funciona diretamente quando
porque então
cabe numa única casa decimal. Se
, a soma ocupa duas casas e produz um transporte (carry) para a casa das centenas — por isso o resultado final precisa ajustar o dígito da esquerda. Exemplo rápido:
. Aqui
,
,
. Aplicando a regra: começa-se com
, coloca-se
no meio e
no final, e adiciona-se o carry
à esquerda: o produto fica
. Verificação:
.
Passo 5
Resposta ao item (c): o padrão vale para qualquer número de dois algarismos, com a ressalva do carry.
- Justificativa: a dedução algébrica acima foi geral para
; portanto o resultado sempre aparece como . - Quando
o dígito do meio é simplesmente . Quando devemos colocar a unidade de na posição do meio e somar a dezena de como carry ao dígito (à esquerda). Isso é exatamente o ajuste que o algoritmo de soma faz. Então o “padrão” (colocar a soma dos dois dígitos entre os dígitos originais) é válido, desde que lembremos de tratar o caso do transporte quando a soma é dupla.
Passo 6
Resposta ao item (d): o padrão se estende, com uma regra natural, para números com mais de dois algarismos — há um padrão: cada dígito (exceto os extremos) do produto é a soma de dois dígitos adjacentes do número original, com carries quando necessário.
- Explicação prática (algoritmo): para um número com dígitos
(onde é o dígito mais à esquerda), o produto por pode ser obtido assim: - Escreve-se
como primeiro dígito do resultado. - Para cada posição interna, escrevemos
(soma dos dígitos adjacentes) como o próximo dígito; se a soma for colocamos a unidade e propagamos o carry para a esquerda. - Escreve-se
como último dígito do resultado.
- Escreve-se
- Exemplos:
-
: escrevo , depois , depois , por fim . Resultado . Verificação: . -
: calculemos com cuidado dos carries: , depois → escrever e transportar , depois → escrever e transportar (mas já houve carry anterior que se soma), por fim . Fazendo a propagação correta obtemos . Verificação: .
-
- Em termos algébricos isto vem do fato geral
: somar o número a ele mesmo deslocado uma casa (multiplicado por ) tem o efeito de somar pares de dígitos adjacentes nas posições intermediárias.
Passo 7
Resumo operativo que você pode usar na prova (passo a passo fácil):
- Para um número de dois algarismos
: calcule . Se , resultado é . Se , coloque a unidade de no meio e some a dezena de ao (carry). - Para números maiores: escreva o primeiro dígito, depois coloque sucessivamente as somas de cada par de dígitos adjacentes (tratando carries da direita para a esquerda), e termine com o último dígito. É rápido e evita multiplicações longas.
Resposta
a) Para um número de dois algarismos
,
forma tipicamente os dígitos
; isto é, o dígito do meio é a soma dos dois dígitos originais (com ajuste por carry se
).
b) Porque ; algebraicamente isso gera os dígitos
, e quando
a dezena de
vira carry para a esquerda (mesmo procedimento do algoritmo da multiplicação/soma).
c) Sim, vale para qualquer número de dois algarismos; a fórmula é geral, mas é preciso tratar o caso fazendo o carry (ex.:
).
d) Sim, há um padrão análogo: ao multiplicar por cada dígito interno do resultado é a soma dos dois dígitos adjacentes do número original (com propagação de carries quando as somas excedem
); exemplo:
e
.
b) Porque
c) Sim, vale para qualquer número de dois algarismos; a fórmula é geral, mas é preciso tratar o caso
d) Sim, há um padrão análogo: ao multiplicar por