Use a calculadora para fazer as seguintes contas:
.
a) Descreva o padrão observado nos resultados.
b) Explique o padrão, com base no algoritmo da multiplicação.
c) Para que tipo de multiplicação esse padrão vale? Justifique sua resposta.
a) Descreva o padrão observado nos resultados.
b) Explique o padrão, com base no algoritmo da multiplicação.
c) Para que tipo de multiplicação esse padrão vale? Justifique sua resposta.
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular as multiplicações
e, a) descrever o padrão observado nos resultados, b) explicar esse padrão com base no algoritmo da multiplicação, c) dizer para que tipo de multiplicação esse padrão vale e justificar.
Informações dadas (lista explícita das entradas):
,
,
,
,
.
Passo 2
Calcule primeiro a parte inteira comum: multiplicar
.
Usando a propriedade distributiva ou
, fazemos
Usando a propriedade distributiva
Calcule cada termo:
Somando,
Este valor
será a “base” comum para as outras multiplicações.
Passo 3
Calcule
separando a parte inteira e a parte decimal:
Pela distributividade,
Já temos
. Agora calcule
. Uma forma prática:
, então
Calcule
. Usando multiplicação inteira:
. Portanto
Somando com a base:
Passo 4
Calcule
do mesmo modo:
De novo
, então
Calcule
. Logo
Somando,
Passo 5
Calcule
de forma idêntica:
Como
,
Calcule
. Assim
Somando,
Passo 6
Reunindo os resultados (confirmei com “calculadora mental” e passos acima):
Observação numérica: cada resultado é a base
mais
vezes a parte decimal do multiplicando. Por exemplo,
Passo 7
Explique o padrão com base no algoritmo (a “aula” curta):
- Princípio usado: propriedade distributiva da multiplicação sobre a adição:
Aqui
,
é a parte inteira comum (
) e
é a parte decimal variável (
,
,
, etc.). Isso garante que
- Como se trata de decimais, multiplicamos por inteiros e depois colocamos a vírgula de acordo com potências de
: é , então multiplicamos o inteiro e dividimos por (colocamos duas casas decimais). - Consequência prática: se vários multiplicandos têm a mesma parte inteira
, então todos os produtos com terão a mesma “base” e diferem apenas por vezes a parte decimal.
Passo 8
Para que tipo de multiplicação esse padrão vale? Justificativa:
O padrão vale sempre que se multiplica o mesmo número inteiro por vários números que podem ser escritos como
, onde
é a mesma parte comum (inteira) e
são as partes decimais (ou fragmentos) diferentes. Em símbolos:
O padrão vale sempre que se multiplica o mesmo número inteiro
Portanto vale sempre que o fator
for fixo e os multiplicandos tiverem a mesma parte inteira
(ou, mais geral, quando os multiplicandos forem decomponíveis numa parte comum mais uma parte variável). A justificativa é a propriedade distributiva e o tratamento das casas decimais (multiplicação do inteiro seguido de ajuste da vírgula).
Resposta
a) Os resultados são
,
,
e
. Observa-se que cada produto é
mais
vezes a parte decimal do multiplicando.
b) Porque (propriedade distributiva); multiplicamos a parte inteira comum (
) e somamos
vezes a parte decimal (por exemplo
).
c) Vale sempre quando multiplicamos o mesmo inteiro por números que têm a mesma parte inteira
(ou, em geral, por números da forma
); então
.
b) Porque
c) Vale sempre quando multiplicamos o mesmo inteiro