Use a calculadora para fazer as seguintes contas: 21 \times 202,48 \times 202,35 \times 202,17 \times 202.
a) Descreva o padrão observado nos resultados.
b) Explique o padrão, com base no algoritmo da multiplicação.
c) Para que tipo de multiplicação esse padrão vale? Justifique sua resposta.

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular as multiplicações
21\times 202,48,\qquad 21\times 202,35,\qquad 21\times 202,17,\qquad 21\times 202
e, a) descrever o padrão observado nos resultados, b) explicar esse padrão com base no algoritmo da multiplicação, c) dizer para que tipo de multiplicação esse padrão vale e justificar.
Informações dadas (lista explícita das entradas): \;21, \;202,48, \;202,35, \;202,17, \;202.

Passo 2

Calcule primeiro a parte inteira comum: multiplicar \;21\times 202.
Usando a propriedade distributiva \;21=(20+1) ou \;202=(200+2), fazemos
21\times 202 = 21\times(200+2)=21\times 200 + 21\times 2.
Calcule cada termo:
21\times 200 = 4200,\qquad 21\times 2 = 42.
Somando,
21\times 202 = 4200+42 = 4242.
Este valor \;4242 será a “base” comum para as outras multiplicações.

Passo 3

Calcule \;21\times 202,48 separando a parte inteira e a parte decimal:
202,48 = 202 + 0,48.
Pela distributividade,
21\times 202,48 = 21\times 202 + 21\times 0,48.
Já temos 21\times 202 = 4242. Agora calcule 21\times 0,48. Uma forma prática: 0,48=\dfrac{48}{100}, então
21\times 0,48 = 21\times \frac{48}{100} = \frac{21\times 48}{100}.
Calcule 21\times 48. Usando multiplicação inteira: 21\times 48 = 21\times(50-2)=1050-42=1008. Portanto
21\times 0,48 = \frac{1008}{100} = 10,08.
Somando com a base:
21\times 202,48 = 4242 + 10,08 = 4252,08.

Passo 4

Calcule \;21\times 202,35 do mesmo modo:
202,35 = 202 + 0,35,
21\times 202,35 = 21\times 202 + 21\times 0,35 = 4242 + 21\times 0,35.
De novo 0,35=\dfrac{35}{100}, então
21\times 0,35 = \frac{21\times 35}{100}.
Calcule 21\times 35 = 21\times(30+5)=630+105=735. Logo
21\times 0,35 = \frac{735}{100} = 7,35.
Somando,
21\times 202,35 = 4242 + 7,35 = 4249,35.

Passo 5

Calcule \;21\times 202,17 de forma idêntica:
202,17 = 202 + 0,17,
21\times 202,17 = 4242 + 21\times 0,17.
Como 0,17=\dfrac{17}{100},
21\times 0,17 = \frac{21\times 17}{100}.
Calcule 21\times 17 = 21\times(20-3)=420-63=357. Assim
21\times 0,17 = \frac{357}{100} = 3,57.
Somando,
21\times 202,17 = 4242 + 3,57 = 4245,57.

Passo 6

Reunindo os resultados (confirmei com “calculadora mental” e passos acima):
21\times 202,48 = 4252,08,
21\times 202,35 = 4249,35,
21\times 202,17 = 4245,57,
21\times 202 = 4242.
Observação numérica: cada resultado é a base 4242 mais 21 vezes a parte decimal do multiplicando. Por exemplo,
4252,08-4242 = 10,08 = 21\times 0,48.

Passo 7

Explique o padrão com base no algoritmo (a “aula” curta):
  • Princípio usado: propriedade distributiva da multiplicação sobre a adição:
n\times (a+b) = n\times a + n\times b.
Aqui n=21, a é a parte inteira comum ( 202) e b é a parte decimal variável ( 0,48, 0,35, 0,17, etc.). Isso garante que
21\times (202 + b) = 21\times 202 + 21\times b.
  • Como se trata de decimais, multiplicamos por inteiros e depois colocamos a vírgula de acordo com potências de 10: b é \dfrac{\text{inteiro}}{100}, então multiplicamos o inteiro e dividimos por 100 (colocamos duas casas decimais).
  • Consequência prática: se vários multiplicandos têm a mesma parte inteira 202, então todos os produtos com 21 terão a mesma “base” 21\times 202 e diferem apenas por 21 vezes a parte decimal.

Passo 8

Para que tipo de multiplicação esse padrão vale? Justificativa:
O padrão vale sempre que se multiplica o mesmo número inteiro n por vários números que podem ser escritos como a+b_i, onde a é a mesma parte comum (inteira) e b_i são as partes decimais (ou fragmentos) diferentes. Em símbolos:
n\times (a+b_i) = n\times a + n\times b_i\quad\text{para todo }i.
Portanto vale sempre que o fator n for fixo e os multiplicandos tiverem a mesma parte inteira a (ou, mais geral, quando os multiplicandos forem decomponíveis numa parte comum mais uma parte variável). A justificativa é a propriedade distributiva e o tratamento das casas decimais (multiplicação do inteiro seguido de ajuste da vírgula).

Resposta

a) Os resultados são 4252,08, 4249,35, 4245,57 e 4242. Observa-se que cada produto é 4242 mais 21 vezes a parte decimal do multiplicando.
b) Porque \;21\times(202+b)=21\times 202 + 21\times b (propriedade distributiva); multiplicamos a parte inteira comum ( 21\times 202=4242) e somamos 21 vezes a parte decimal (por exemplo 21\times 0,48=10,08).
c) Vale sempre quando multiplicamos o mesmo inteiro n por números que têm a mesma parte inteira a (ou, em geral, por números da forma a+b_i); então n\times(a+b_i)=n a + n b_i.

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