Calcule
\lim _{\mathrm{t} \rightarrow 2} \mathrm{~F}(\mathrm{t}), onde \mathrm{F}(\mathrm{t})=\left(\frac{\mathrm{t}^{3}-8}{\mathrm{t}^{2}-4}, \frac{\cos \pi / \mathrm{t}}{\mathrm{t}-2}, 2 \mathrm{t}\right).

Passo 1

O enunciado pede o limite quando t\to2 de
F(t)=\Bigl(\frac{t^3-8}{t^2-4},\,\frac{\cos(\pi/t)}{t-2},\,2t\Bigr).
Como é limite de vetor em \mathbb{R}^3, podemos calcular separadamente o limite de cada componente.

Passo 2

Calculando o primeiro componente
\lim_{t\to2}\frac{t^3-8}{t^2-4} =\lim_{t\to2}\frac{(t-2)(t^2+2t+4)}{(t-2)(t+2)} =\lim_{t\to2}\frac{t^2+2t+4}{t+2}.
Substituindo t=2:
\frac{2^2+2\cdot2+4}{2+2} =\frac{4+4+4}{4} =3.

Passo 3

Calculando o segundo componente
\lim_{t\to2}\frac{\cos(\pi/t)}{t-2}.
Temos a forma indeterminada 0/0 pois \cos(\pi/2)=0. Aplicamos a regra de l’Hôpital definindo
f(t)=\cos\bigl(\pi/t\bigr),\quad g(t)=t-2.
Então
f'(t)=-\sin\bigl(\pi/t\bigr)\cdot\bigl(-\tfrac{\pi}{t^2}\bigr) =\frac{\pi}{t^2}\,\sin\bigl(\pi/t\bigr), \qquad g'(t)=1.
Logo
\lim_{t\to2}\frac{f(t)}{g(t)} =\lim_{t\to2}\frac{f'(t)}{g'(t)} =\frac{\pi}{2^2}\,\sin\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr) =\frac{\pi}{4}.

Passo 4

O terceiro componente é direto:
\lim_{t\to2}2t=4.

Resposta

\lim_{t\to2}F(t)=\bigl(3,\tfrac{\pi}{4},4\bigr).

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