Calcule F(t) \times G(t), onde F(t)=t i+2 j+t^{2} k e G(t)=t i-j+k.

Passo 1

O enunciado nos dá dois campos vetoriais em \mathbb{R}^3, \displaystyle \mathbf{F}(t)=t\,\mathbf{i}+2\,\mathbf{j}+t^{2}\,\mathbf{k} e \displaystyle \mathbf{G}(t)=t\,\mathbf{i}-\mathbf{j}+\mathbf{k},
e pede o produto vetorial \mathbf{F}(t)\times \mathbf{G}(t).
Para isso, vamos usar a definição via determinante de uma matriz 3\times3 com as componentes de \mathbf{F} e \mathbf{G}.

Passo 2

Anotamos as componentes \mathbf{F}(t)=(F_{1},F_{2},F_{3})=(t,\,2,\,t^{2}) e \mathbf{G}(t)=(G_{1},G_{2},G_{3})=(t,\,-1,\,1).
O produto vetorial é
\mathbf{F}(t)\times \mathbf{G}(t) =\begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\[6pt] F_{1} & F_{2} & F_{3} \\[3pt] G_{1} & G_{2} & G_{3} \end{vmatrix}.]

Passo 3

Calculamos a componente em \mathbf{i} extraindo o menor
\bigl(F_{2}G_{3}-F_{3}G_{2}\bigr)\,\mathbf{i} =\bigl(2\cdot1 - t^{2}\cdot(-1)\bigr)\,\mathbf{i} =(2 + t^{2})\,\mathbf{i}.

Passo 4

Calculamos a componente em \mathbf{j} lembrando de inverter o sinal:
-\bigl(F_{1}G_{3}-F_{3}G_{1}\bigr)\,\mathbf{j} =-\bigl(t\cdot1 - t^{2}\cdot t\bigr)\,\mathbf{j} =-\bigl(t - t^{3}\bigr)\,\mathbf{j} =(t^{3}-t)\,\mathbf{j}.

Passo 5

Calculamos a componente em \mathbf{k} extraindo o menor
\bigl(F_{1}G_{2}-F_{2}G_{1}\bigr)\,\mathbf{k} =\bigl(t\cdot(-1) - 2\cdot t\bigr)\,\mathbf{k} =(-t - 2t)\,\mathbf{k} =-3t\,\mathbf{k}.

Resposta

\mathbf{F}(t)\times \mathbf{G}(t) =(t^{2}+2)\,\mathbf{i}+(t^{3}-t)\,\mathbf{j}-3t\,\mathbf{k}.

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