Calcule u(t) \cdot v(t), onde u(t)=\operatorname{sent} i+\cos t j+t k e v(t)=\operatorname{sent} i+\cos t j+k.

Passo 1

O enunciado pede o produto escalar de duas funções vetoriais em \mathbb{R}^3:
u(t)=\bigl(\operatorname{sen} t,\;\cos t,\;t\bigr), \quad v(t)=\bigl(\operatorname{sen} t,\;\cos t,\;1\bigr).
O conteúdo aqui é produto escalar de vetores no espaço euclidiano.

Passo 2

A definição de produto escalar para
u(t) = \bigl(u_1(t),u_2(t),u_3(t)\bigr), \quad v(t) = \bigl(v_1(t),v_2(t),v_3(t)\bigr)
é
u(t)\cdot v(t) = u_1(t)\,v_1(t) + u_2(t)\,v_2(t) + u_3(t)\,v_3(t).

Passo 3

Identificamos as componentes:
u_1(t)=\operatorname{sen} t,\quad u_2(t)=\cos t,\quad u_3(t)=t,
v_1(t)=\operatorname{sen} t,\quad v_2(t)=\cos t,\quad v_3(t)=1.

Passo 4

Aplicando a fórmula do produto escalar:
u(t)\cdot v(t) = (\operatorname{sen} t)(\operatorname{sen} t) \;+\; (\cos t)(\cos t) \;+\; t\cdot1 = \operatorname{sen}^2 t + \cos^2 t + t.

Passo 5

Usando a identidade trigonométrica \operatorname{sen}^2 t + \cos^2 t = 1, concluímos
u(t)\cdot v(t) = 1 + t.

Resposta

u(t)\cdot v(t)=1+t.

Exercícios relacionados